Comment diviser des racines carrées

Diviser des racines carrées revient pratiquement à simplifier une fraction. Bien entendu, la présence des racines carrées complique un peu le processus, mais certaines règles vous permettront de vous habituer avec les fractions de manière assez simple. La clé c'est de se rappeler que vous devez diviser les coefficients entre eux et les radicandes entre eux. En outre, vous ne pouvez jamais obtenir une racine carrée au dénominateur.

Partie 1

Partie 1 sur 4:

Diviser des radicaux

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$How.com.vn Français: Step 1 Exprimez l'opération sous forme de fraction.$
1
Exprimez l'opération sous forme de fraction. Si l'expression que vous avez n'est pas encore exprimée sous forme d'une fraction, faites-le. Cela permet de suivre plus facilement les différentes étapes nécessaires pour effectuer la division d'une racine carrée. N'oubliez pas que la barre de fraction est également la barre de division ^{[1]XSource de recherche}.
- À titre d'exemple, si vous voulez calculer ${\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}$ , réécrivez votre opération comme suit : ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}$ .
2
Utilisez un seul radical (le symbole √). Si votre opération contient une racine carrée au numérateur et au dénominateur, vous pouvez mettre les deux radicandes sous un seul symbole √ ^{[2]XSource de recherche}. Un radicande est une expression mathématique contenue sous le trait vertical d'un radical. Cela facilite le processus de simplification.
- Par exemple, vous pouvez réécrire ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}$ sous cette forme : ${\sqrt {\frac {144}{36}}}$ .
3
Divisez les radicandes. Divisez les nombres tout comme vous le feriez pour tout nombre entier. Tâchez de placer le quotient sous un nouveau radical.
- Par exemple, ${\frac {144}{36}}=4$ , donc ${\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}$ .
4
Simplifiez l'opération si nécessaire. Si le radicande ou si l'un de ses facteurs est un carré parfait, vous devez simplifier l'expression. Un carré parfait n'est rien d'autre que le produit d'un nombre entier multiplié par lui-même ^{[3]XSource de recherche}. Par exemple, 25 est un carré parfait, puisque $5\times 5=25$ $How.com.vn Français: 5\times 5=25$ .
- Par exemple, 4 est une racine parfaite, puisque $2\times 2=4$ . Par conséquent :
  ${\sqrt {4}}$
  $={\sqrt {2\times 2}}$
  $=2$
  Donc, ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2$ .
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Partie 2

Partie 2 sur 4:

Factoriser des radicandes

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$How.com.vn Français: Step 1 Exprimez votre opération sous forme de fraction.$
1
Exprimez votre opération sous forme de fraction. Il est probable que votre expression soit déjà exprimée de cette manière, mais si ce n'est pas le cas, faites-le. Résoudre le problème en tant que fraction vous permet de suivre plus facilement toutes les étapes nécessaires, particulièrement lorsque vous devez factoriser des racines carrées. Souvenez-vous qu'une barre de fraction est également une barre de division ^{[4]XSource de recherche}.
- Par exemple, si vous voulez calculer ${\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}$ , réécrivez l'opération comme suit : ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}$ .
2
Factorisez chaque radicande. Factorisez les radicandes tout comme vous le feriez pour tout nombre entier. Gardez les facteurs sous le symbole √ ^{[5]XSource de recherche}.
- Voici un exemple :
  ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}$
$How.com.vn Français: Step 3 Simplifiez le numérateur et le dénominateur de votre fraction.$
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Simplifiez le numérateur et le dénominateur de votre fraction. Pour simplifier une racine carrée, retirez tous les facteurs qui forment un carré parfait. Une fois encore, un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un nombre naturel ^{[6]XSource de recherche}. Le facteur deviendra à présent un coefficient à l'extérieur du radical.
- Voici un exemple :
  ${\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}$
  ${\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$
  Donc, ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$
4
Si nécessaire, rationalisez le dénominateur. En règle générale, une expression ne peut avoir une racine carrée au dénominateur. Si tel est votre cas, vous devez rationaliser le dénominateur. Cela revient à faire disparaitre la racine carrée au dénominateur. Pour ce faire, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur de votre fraction par la racine carrée que vous voulez faire disparaitre ^{[7]XSource de recherche}.
- Par exemple, si l'expression mathématique que vous devez résoudre est la suite ${\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}$ , vous devez multiplier le dénominateur et le numérateur par ${\sqrt {3}}$ pour annuler la racine carrée au dénominateur :
  ${\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}$
  $={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}$
  $={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}$
  $={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}$ .
5
Simplifiez encore le résultat s'il le faut. Parfois, vous pouvez encore avoir des coefficients qui peuvent être simplifiés ou réduits dans votre résultat. Simplifiez les nombres entiers au numérateur et au dénominateur, tout comme vous le feriez pour toute fraction.
- Par exemple, ${\frac {2}{6}}$ deviendra ${\frac {1}{3}}$ , donc ${\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$ deviendra ${\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}$ ou simplement ${\frac {\sqrt {2}}{3}}$ .
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Partie 3

Partie 3 sur 4:

Diviser des racines carrées avec des coefficients

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1
Simplifiez les coefficients. Ce sont les nombres qui sont en dehors du radical. Pour les simplifier, vous devez les diviser ou les réduire en ignorant pour l'instant les racines carrées ^{[8]XSource de recherche}.
- Par exemple, si vous voulez calculer ${\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}$ , simplifiez d'abord ${\frac {4}{6}}$ . Vous pouvez diviser le numérateur et le dénominateur par un facteur de 2. Ainsi, vous obtiendrez ceci : ${\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$ .
2
Simplifiez les racines carrées. Si le numérateur est divisible de façon par le dénominateur, divisez simplement les radicandes. Sinon, vous pouvez simplifier chaque racine carrée comme vous le feriez normalement ^{[9]XSource de recherche}.
- Par exemple, étant donné que 32 est divisible en partie égale par 16, vous pouvez diviser les racines : ${\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}$ .
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Multipliez les coefficients simplifiés par la racine carrée simplifiée. N'oubliez pas que l'expression ne peut pas contenir une racine carrée au dénominateur. Ainsi, au moment de multiplier une fraction par une racine carrée, placez la racine carrée au numérateur ^{[10]XSource de recherche}.
- Par exemple, ${\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$ .
4
Faites disparaitre la racine carrée au dénominateur, s'il le faut. On parle de la rationalisation du dénominateur. Normalement, une expression mathématique ne peut avoir une racine carrée au dénominateur. Pour rationaliser votre dénominateur, vous devez multiplier ce dernier et le numérateur par la racine carrée que vous souhaitez annuler ^{[11]XSource de recherche}.
- Par exemple, si votre expression mathématique est la suivante ${\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$ , vous devez multiplier le dénominateur et le numérateur par ${\sqrt {7}}$ pour faire disparaitre la racine carrée au dénominateur :
  ${\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
  $={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}$
  $={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}$
  $={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}$
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Partie 4

Partie 4 sur 4:

Effectuer une division par un binôme contenant une racine carrée

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Déterminez s'il y a un binôme au dénominateur. Le dénominateur est le nombre en dessous de la barre de fraction. Un binôme est un polynôme composé de 2 termes ^{[12]XSource de recherche}. Cette méthode s'applique uniquement à la division des binômes impliquant des racines carrées.
- Supposons que vous voulez calculer cette opération ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}$ . Le dénominateur contient un binôme, puisque $5+{\sqrt {2}}$ un polynôme composé de deux termes.
2
Trouvez l'expression conjuguée du binôme. On dit que deux binômes sont « conjugués » lorsqu'un des deux termes de chaque expression est commun et que l'autre ne diffère que par son signe ^{[13]XSource de recherche}. L'utilisation d'un binôme conjugué vous permet de faire disparaitre la racine carrée au dénominateur.
- Par exemple le binôme $5+{\sqrt {2}}$ a pour expression conjuguée $5-{\sqrt {2}}$ . Cette expression comporte les mêmes termes que le binôme de départ, mais diffère en raison de son signe opératoire.
3
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela vous permettra de faire disparaitre une racine carrée, car le produit de deux pairs conjugués est la différence du carré de chaque terme dans le binôme ^{[14]XSource de recherche}. Autrement dit $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ $How.com.vn Français: (a-b)(a+b)=a^{{2}}-b^{{2}}$ .
- Voici un exemple
  ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}$
  $={\frac {1(5-{\sqrt {2}})}{(5+{\sqrt {2}})(5-{\sqrt {2}})}}$
  $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{(5^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}$
  $={\frac {5+{\sqrt {2}}}{25-2}}$
  $={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}$
  Par conséquent, ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}$ .
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Conseils

La plupart des calculatrices effectuent les calculs sur les fractions grâce à une touche spécifique. Pour vous en servir, tapez le coefficient d'un numérateur, appuyez sur la touche en question, puis entrez le coefficient d'un dénominateur. En appuyant sur la touche « = », vous deviez pouvoir obtenir une expression plus simple des coefficients.
Lorsque vous faites des exercices avec les racines carrées, il est préférable d'utiliser les fractions impropres plutôt que les fractions mixtes.
Contrairement aux opérations d'addition et de soustraction des radicaux, quand il s'agit de faire des divisions, vous n'avez pas besoin de simplifier les radicandes avant de commencer à retirer les carrés parfaits. À vrai dire, il est souvent préférable de ne pas le faire.

Avertissements

Ne laissez jamais un radical au dénominateur d'une fraction, mais essayez plutôt de procéder à une simplification ou à une rationalisation.
Ne placez ou ne laissez jamais des nombres décimaux ou mixtes avant un radical. Au lieu de cela, transformez-les en des fractions et simplifiez l'expression entière.
Ne placez jamais un nombre décimal dans une fraction. C'est un peu comme avoir une fraction dans une autre fraction.
Si le dénominateur contient un signe d'addition ou de soustraction, utilisez l'expression conjuguée pour faire disparaitre le radical du dénominateur.