求三阶矩阵的逆矩阵

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在本文中：

创建伴随矩阵来求逆矩阵

使用线性行简化来求逆矩阵

使用计算器来求逆矩阵

相关文章

参考

正在为一个棘手的代数问题而苦恼？求逆矩阵是解线性方程的关键。此外，逆运算通常还能为困难问题提供一种便捷的简化方法。例如，一个题要除以一个分数，那么换种思维，改成乘以该分数的倒数就会更简单。而这就是一种基本的逆运算！同样，由于矩阵没有除法运算，所以你得乘以逆矩阵。为此，这篇文章整理了一份逐步指南，教你通过行列式和线性行简化来手动计算3x3逆矩阵。然后，甚至还会教你如何用高级图形计算器来求逆矩阵。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

创建伴随矩阵来求逆矩阵

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   检查矩阵的行列式。作为第一步，你需要计算矩阵的行列式。如果行列式为0，那就可以到此结束了，因为该矩阵没有逆运算。矩阵M的行列式的符号表达式为det(M)。

   • For a 3x3 matrix, find the determinant by first
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   转置原矩阵。转置是指围绕主对角线翻转矩阵，或者说，将元素(i,j)和元素(j,i)互换。在转置矩阵项时，你应该看到主对角线（从左上方到右下方）不会发生变化。

   • 另一种思考转置的方法是把第一行改写成第一列，把中间行变成中间列，把第三行变成第三列。注意上图中的彩色元素，看看数字在哪里变换了位置。
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   求出每个2x2小矩阵的行列式。新转置的3x3矩阵的每一项都与一个相应的2x2“次要”矩阵相关。要想求出每一项正确的次要矩阵，首先要找出你要开始的项的行和列。这应该包括矩阵的五项。剩下的四项就组成了小矩阵。

   • 在上例中，如果你想求出第二行第一列的项的次要矩阵，那就要找出第二行第一列的五项。剩下的四项就是相应的小矩阵。
   • 如图所示，通过对角线的交叉相乘和简化，求出每个小矩阵的行列式。
   • 关于小矩阵及其用途的更多信息，可以阅读其他相关文章。
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   创建余因子矩阵。将上一步的结果代入一个新的余因子矩阵中，将每个小矩阵的行列式与原矩阵中的相应位置对齐。这样，你从原矩阵的项(1,1)中计算出的行列式将被放在(1,1)位置。然后，你必须按照所示的“棋盘”样式，将这个新矩阵的交替项的符号颠倒过来。

   • 在分配符号时，第一行的第一个元素将保留其原始符号。第二个元素是相反的符号。第三个元素将保留其原始符号。继续以这种方式处理矩阵的其余部分。请注意，棋盘中的(+)或(-)符号并不代表最后一项就应该是正数或负数。它们只是表示保持(+)或颠倒(-)任何数字原来的符号而已。
   • 这一步的最终结果被称为原矩阵的伴随矩阵。它有时也被称为邻接矩阵。伴随矩阵可以记作Adj(M)。
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   将伴随矩阵的每一项除以行列式。回想一下你在第一步中算出的行列式M（以便检查逆运算是否可行）。现在你要用这个值来除以矩阵的每一项。将每次计算的结果放到原项的位置上。结果就是原矩阵的逆矩阵。

   • 对于图中所示的矩阵，行列式为1。因此，除以伴随矩阵的每一项，就能得到伴随矩阵本身。但你可能不会总是这么幸运。
   • 一些资料没有把这一步当做除法，而是用M的每一项乘以1/det(M)。在数学上，这些计算都是一样的。
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方法 2

方法 2 的 3:

使用线性行简化来求逆矩阵

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   将单位矩阵与原矩阵连接起来。写出原矩阵M，在它的右边画一条垂线，然后在它的右边写出单位矩阵。现在，你应该就会得到一个看起来包含三行六列的矩阵。

   • 回顾一下，单位矩阵是一种特殊矩阵，从左上角到右下角的主对角线的每个位置都是1，而其他所有位置都是0。
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   执行线性行简化。你的目标是在这个新的增广矩阵左侧创建一个单位矩阵。在左边执行简化步骤时，你必须在右边持续执行同样的操作，因为右边开始是你的单位矩阵。

   • 请记住，行简化是以纯量乘法和行简化的组合形式进行的，目的是为了隔离矩阵的各个项。
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   一直继续下去，直到最终形成单位矩阵。继续重复线性行简化操作，直到你的纯量乘法的左侧显示了单位矩阵（对角线为1，其他项为0）。当你达到这一点时，垂直分割线的右侧将是原矩阵的逆矩阵。
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   写出逆矩阵。将现在出现在垂直分割线右侧的元素复制成逆矩阵。
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方法 3

方法 3 的 3:

使用计算器来求逆矩阵

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   选择一款具有矩阵功能的计算器。简单的4功能计算器无法帮助你直接求逆矩阵。然而，由于计算的重复性，德州仪器的TI-83或TI-86等高级图形计算器可以帮你大大减少运算。
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   将矩阵输入计算器。首先，如果计算器上有Matrix键的话，按它就能进入计算器的Matrix功能。在德州仪器的计算器上，你可能需要按第二个Matrix键。
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   选择“编辑”子菜单。要找到该子菜单，你可能需要用箭头按钮或在计算器键盘的顶部选择适当的功能键，具体取决于计算器的布局。
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   为你的矩阵选择一个名称。大多数计算器都可以处理3到10个矩阵，用字母A到J来标示。通常情况下，你只用选择[A]即可使用。选择后按输入键。
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   输入矩阵的尺寸。本文主要讨论3x3矩阵。但是，计算器可以处理更大尺寸的矩阵。输入行数，然后按输入键，再输入列数，再按输入键。
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   输入矩阵的每个元素。计算器屏幕将显示一个矩阵。如果你之前在使用矩阵功能，那么之前的矩阵会出现在屏幕上。光标将突出显示矩阵的第一个元素。输入你想求解的矩阵的数值，然后按Enter。光标会自动移动到矩阵的下一个元素，并覆盖之前的任何数字。

   • 如果要输入负数，请使用计算器的负数按钮(-)而不是减号键。否则，矩阵功能将无法正确读取数字。
   • 如有必要，你可以使用计算器的箭头键在矩阵中移动。
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   退出矩阵功能。在输入了矩阵的所有数值后，按退出键（如果需要，按第2个退出键）。这样就会退出矩阵功能，回到计算器的主屏幕。
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   使用逆向键来求逆矩阵。首先，重新打开矩阵功能，使用名称按钮来选择你用来定义矩阵的矩阵标签（可能是[A]）。然后，按下计算器的逆向键$x^{-1}$。这一步可能需要使用第2个按钮，具体取决于你的计算器。这时候屏幕会显示$A^{-1}$。按输入键，屏幕上应该就出现逆矩阵。

   • 不要使用计算器上的^键来尝试将A^-1作为单独的键盘输入。计算器将无法理解这种操作。
   • 如果你在按逆向键时收到错误信息，那就表示你的原矩阵很可能没有逆矩阵。你可能得通过计算行列式来求出答案。
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   将你的逆矩阵转换为精确的答案。计算器给你的第一个计算结果会是小数的。这在大多数情况下都被认为是不“精确”的。如有必要，你应将小数答案转换成分数形式。(如果你非常幸运，得到的所有结果都是整数，但这种情况很少见）。

   • 您的计算器可能有一个自动将小数转换为分数的功能。例如，使用TI-86，进入数学功能，然后选择Misc，再选择Frac，然后输入。小数将自动显示为分数。你的计算器可能有自动将小数转换成分数的功能。例如，在TI-86上进入数学功能，然后选择Misc，再选择Frac，然后按Enter。这时候，小数就会被自动转换为分数。
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    大多数图形计算器也有方括号键（在TI-84上是第2+x和第2+-），可以用来输入矩阵而不用矩阵功能。注意：在使用Enter/等号键后，计算器才会对矩阵进行格式化（即所有的内容都显示成一行，看起来不太美观）。
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小提示

• 你可以按照这些步骤来求一个不仅包含数字，而且还包含变量、未知数甚至代数表达式的矩阵的逆矩阵。
• 把所有的步骤写下来，因为要在头脑中求出3x3矩阵的逆矩阵是非常困难的。
• 有一些计算机程序可以为你求出逆矩阵，最多甚至可以求30x30的矩阵大小。
• 无论选择哪种方法，都可以通过用M乘以M^-1来检查结果是否正确。你应该能够验证M*M^-1 = M^-1*M = I 。其中I是单位矩阵，由主对角线上的1和其他地方的0组成。如果不是，那就说明你在某一步弄错了。

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警告

• 并非所有的3x3矩阵都有逆矩阵。如果矩阵的行列式等于0，那它就没有逆矩阵。（请注意，在公式中我们要除以det(M)。除以零是行不通的）。

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