Магнітагідрадынаміка

	Электрадынаміка
Электрастатыка
	Закон Кулона ; Тэарэма Гауса ; Электрычны дыпольны момант ; Электрычны зарад ; Электрычная індукцыя ; Электрычнае поле ; Электрастатычны патэнцыял
Магнітастатыка
	Закон Біё — Савара — Лапласа ; Закон Ампера ; Магнітны момант ; Магнітнае поле ; Магнітны паток
Электрадынаміка
	Вектарны патэнцыял ; Электрычны дыполь ; Патэнцыялы Ліенара — Віхерта ; Сіла Лорэнца ; Ток зрушэння ; Уніпалярная індукцыя ; Ураўненні Максвела ; Электрычны ток ; Электрарухальная сіла ; Электрамагнітная індукцыя ; Электрамагнітнае выпраменьванне ; Электрамагнітнае поле
Электрычны ланцуг
	Закон Ома ; Правілы Кірхгофа ; Індуктыўнасць ; Радыёхвалявод ; Рэзанатар ; Электрычная ёмістасць ; Электрычная праводнасць ; Электрычнае супраціўленне ; Электрычны імпеданс
Каварыянтная фармулёўка
	Тэнзар электрамагнітнага поля ; Тэнзар энергіі-імпульсу ; 4-патэнцыял ; 4-ток
Вядомыя вучоныя
	Генры Кавендыш ; Майкл Фарадэй ; Андрэ Мары Ампер ; Густаў Роберт Кірхгоф ; Джэймс Клерк Максвел ; Генрых Рудольф Герц ; Альберт Абрахам Майкельсан ; Роберт Эндрус Мілікен
	глядзець; размовы; правіць;

	Механіка суцэльных асяроддзяў
Класічная механіка
	Закон захавання масы · Закон захавання імпульсу
Тэорыя пругкасці
	Напружанне · Тэнзар · Цвёрдыя целы · Пругкасць · Пластычнасць · Закон Гука · Рэалогія · Вязкапругкасць
Гідрадынаміка
	Вадкасць · Гідрастатыка · Гідрадынаміка · Вязкасць · Ньютанаўская вадкасць · Неньютанаўская вадкасць · Паверхневае нацяжэнне
Асноўныя ўраўненні
	Ураўненне неразрыўнасці · Ураўненне Эйлера · Ураўненні Наўе — Стокса · Ураўненне дыфузіі · Закон Гука
Вядомыя вучоныя
	Ньютан · Гук ; Бернулі · Эйлер · Кашы · Стокс · Наўе
	глядзець; размовы; правіць;

Магнітная гідрадынаміка — фізічная дысцыпліна, якая ўзнікла на скрыжаванні гідрадынамікі і электрадынамікі суцэльных асяроддзяў. Прадметам яе вывучэння з'яўляецца дынаміка вадкасці (газу), якія праводзіць ток, ў магнітным полі. Прыкладамі такіх асяроддзяў з'яўляюцца: рознага роду плазма, вадкія металы, салёная вада.

Піянерам даследаванняў у галіне тэорыі магнитагідрадынамікі прызнаны Ханес Альфвен, быў уганараваны за гэтыя працы Нобелеўскай прэміі ў 1970 годзе. Першай эксперыментальнай працай у гэтай галіне стала даследаванне Гартманам у 1937 супраціву плыні ртуці ў трубцы пры ўздзеянні папярочнага магнітнага поля.

Ураўненні магнітнай гідрадынамікі

Поўная сістэма ўраўненняў нерэлятывісцкай магнітнай гідрадынамікі вадкасці мае выгляд:

{\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Тут $\ p$ - ціск у серадзе, $\ \rho$ - шчыльнасць, $\sigma$ - праводнасць вадкасці, $\eta$ - зрухавая вязкасць, $\zeta$ - аб'ёмная вязкасць, ${\vec {v}}$ - поле хуткасцей яе элементаў, ${\vec {H}}$ - напружанасць магнітнага поля.

Гэтая сістэма змяшчае 8 ўраўненняў і дазваляе вызначыць 8 невядомых $\ p,\rho ,{\vec {H}},{\vec {v}}$ пры наяўнасці зададзеных пачатковых і межавых умоў.

Калі скарыстацца наступнымі набліжанай (бездысыпатыўная мяжа):

$\sigma \to \infty$
$\eta =0,\quad \zeta =0$

то сістэма ўраўненняў МГД запішацца ў больш простым выглядзе:

{\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Вывад ураўненняў

Вывад ураўненняў МГД з ураўненняў Максвела і гідрадынамікі

Запішам сістэму ўраўненняў Максвелла ў сістэме СГС.

{\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\ partial\ vecH}{\ partialt}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}

Будзем зыходзіць з наступных здагадак:

Магнітная пранікальнасць $\mu =1$
Няма электрычных зарадаў $\rho =0$
Закон Ома мае выгляд: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}$

Абмяжуемся нерэлятывісцкім выпадкам ( $v\ll c$ ), т.е $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\vec {E}}\right|$

Абгрунтаванне нерэлятывісцкага набліжэння.

Пакажам, што $v\ll c$ эквівалентна $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}\nabla \times {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\right|

Ацэнім гэты выраз:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}}

L - характэрная даўжыня

$\tau$ - характэрны час

Гэта прыводзіць нас да наступных суадносінах:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2}

v\ll c

Гэта значыць, характэрная хуткасць у сістэме павінна быць шмат менш хуткасці святла.

Ураўненні Максвела ў гэтым набліжэнні запішуцца наступным чынам:

{\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Выразім з закона Ома ${\vec {E}}$ і падставім яго ў першае ўраўненне:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)

Падставім у гэтае ўраўненне ток з другога ўраўнення Максвела і атрымаем:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]

У мяжы ідэальнай вадкасці $\sigma \to \infty$ атрымліваем: $\ fra{\partial {\vec {H}}}{\partial t}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]$

Для сувязі з гідрадынамікай ва ўраўненне Наўе — Стокса дадаецца член, які адказвае за сілу Ампера, якая дзейнічае на токі з боку магнітнага поля (ток выяўляецца з другога ўраўнення Максвела праз напружанасць магнітнага поля):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\ times\operatorname {rot} {\vec {H}}\right]

Прыкладанні

Прынцыпы магнітнай гідрадынамікі выкарыстоўваюцца для дыстанцыйнага кантролю і кіравання паводзінамі вадкіх металаў у прамысловасці, у прыватнасці:

МГД-насос
Магнітагідрадынамічная апрацоўка
МГД-генератар

Гл. таксама

Літаратура

Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4