Пераўтварэнне Гільберта

У матэматыцы і апрацоўцы сігналаў пераўтварэнне Гільберта — лінейны аператар, які супастаўляе кожнай функцыі ${\displaystyle u(t)}$ функцыю ${\displaystyle H(u(t))}$ у той жа вобласці.

Пераўтварэнне Гільберта можа быць вызначана ў сэнсе галоўнага значэння інтэграла па Кошы:

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}{\text{v.p.}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$

Ці, больш відавочна:

${\displaystyle H(u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau .}$

Пры двухразовым ужыванні пераўтварэння Гільберта функцыя змяняе знак:

${\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t),\,}$

пры ўмове, што абое пераўтварэнні існуюць.