Тэарэма Гаўса

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю свабодных электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

${\displaystyle \Phi ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}}$

Паток вектара напружанасці пунктавага зарада праз элемент паверхні dS складае

${\displaystyle d\Phi ={\vec {E}}{\vec {dS}}={\frac {qdScos\varphi }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}={\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}}$ , дзе ${\displaystyle dS_{r}}$ праекцыя dS на плоскасць, перпендыкулярную да вектара ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , накіраванага ад зарада да паверхні.

Велічыня ${\displaystyle {\frac {dS_{r}}{r^{2}}}}$ уяўляе сабой цялесны вугал ${\displaystyle d\Omega }$ , пад якім з пункта знаходжання зарада бачна паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

${\displaystyle \Phi =\oint {\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}=\oint {\frac {qd\Omega }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}\oint d\Omega ={\frac {q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}}$

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, то яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і іншы раз – выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып суперпазіцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

${\displaystyle \Phi =\Sigma \Phi _{i}={\frac {\Sigma q_{i}}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}}$

Тэарэма Гаўса з'яўляецца вынікам закона Кулона. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасць якіх вызначаецца законам, падобным да кулонаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасці будзе выконваць паскарэнне свабоднага падзення, а замест зарада будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

${\displaystyle \Phi =4\pi GM}$

дзе G – гравітацыйная пастаянная.

• Мікуліч А. С. Курс агульнай фізікі. Электрычнасць і магнетызм: вучэб. дапаможнік. — Мн.: Вышэйшая школа, 1995.