অয়লারের ধ্রুবক

স্কটিশ গণিতজ্ঞ জন নেপিয়ার ১৬১৮ খ্রিস্টাব্দে উক্ত ধ্রুবকটি সম্পর্কে উল্লেখ করেন। তবে ধ্রুবকটি আবিষ্কার ও সংজ্ঞায়িত করার কৃতিত্ব দেওয়া হয় জ্যাকোব বার্নোলিকে। যিনি নিম্নোক্ত রাশিটির মান বের করার চেষ্টা করছিলেন।

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।

${\displaystyle 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$

উক্ত অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।^[২]

প্রমাণটাও সহজ, প্যাসক্যালের দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী,

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)x^{2}}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)x^{3}}{3!}}+\ldots }$

সুতরাং, যখন ${\displaystyle x={\frac {1}{n}}}$ , তখন,

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})}{2!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})(1-{\frac {2}{n}})}{3!}}+\ldots }$

যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ এর মান তত শুন্যের দিকে কমতে থাকে)।

${\displaystyle e^{x}}$ রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে ${\displaystyle \exp(x)}$ ও লেখা হয়।

ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }$

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$ সমীকরণটি e কে 1, ${\displaystyle \pi }$ এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার^[৩] দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা(${\displaystyle \pi }$ পাই এর মত)