D'Alambertov test

Neka je dat red:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

Ako primjenimo D'Alambertov test:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}}$

Red konvergira jer je ${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$ manje od 1.

Neka je dat red:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}$

Ako primjenimo D'Alambertov test:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|\\&=e>1.\end{aligned}}}$

Red divergira jer je ${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$ veće od 1.

ako je limes općeg člana reda

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}$

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.

Na primjer, red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}$

divergira, ali

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}$

Međutim, red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

konvergira apsolutno, ali je

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}$

Konačno,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}$

konvergira uslovno, ali

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}$

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}$ .

Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu, omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}$

i ako je

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)<-1}$

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu.

• Cauchyjev korjeni test
• Radijus konvergencije

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3