Lipschitzovsky spojité zobrazení

Lipschitzovsky spojité zobrazení je takové zobrazení ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ mezi metrickými prostory ${\displaystyle (M,d_{M})}$ a ${\displaystyle (N,d_{N})}$ , že existuje konstanta ${\displaystyle K>0}$ a platí

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leq K\ d_{M}(x,y)}$

pro každé ${\displaystyle x,y\in M}$ . Nejmenší taková konstanta ${\displaystyle K}$ se nazýválipschitzovská konstanta.

Lipschitzovsky spojité zobrazení s lipschitzovskou konstantou ${\displaystyle K<1}$ se nazývá kontraktivní zobrazení, nebo kontrakce.

Funkce ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ je lipschitzovsky spojitá, nebo lipschitzovská, pokud existuje konstanta ${\displaystyle K>0}$ a pro každé ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ platí

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$ .

Množina všech lipschitzovsky spojitých funkcí na oblasti ${\displaystyle \Omega }$ se značí ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,1}(\Omega )}$ .

Každé lipschitzovsky spojité zobrazení je stejnoměrně spojité a tedy i spojité.

Lipschitzovsky spojitá funkce je již diferencovatelná skoro všude na ${\displaystyle \Omega }$ .

• Hölderova podmínka