Distribuce (diferenciální geometrie)
V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.
Definice
editovatMějme diferencovatelnou varietu a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety
jako
. Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě
rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru
každému bodu
. Toto přiřazení značíme
. Neboli
,
kde je okolí bodu
,
je množina (hladkých) vektorových polí na okolí
,
značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a
označuje hodnotu vektorového pole
v bodě
.
Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.
Přidružené pojmy
editovatUvažujme nyní diferencovatelnou varietu o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci
. O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod
existuje jeho okolí
a na něm souřadnice
takové, že plochy určené soustavou rovnic
(bráno jako podmnožiny v okolí ) jsou integrální podvariety
. Souřadnice
pak nazýváme Frobeniova mapa.
Uvažujme opět diferencovatelnou varietu a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci
. Dále nechť
je n-rozměrná vnořená podvarieta variety
, tj. existuje vnoření
. Pokud
,
kde označuje tečné zobrazení k zobrazení
, tak podvarietu
nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.
Frobeniova věta o integrabilitě distribucí
editovatBuď k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě
. Pokud platí
,
tak k existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)
Krátce řečeno, pokud je v involuci, tj.
, tak je
integrabilní.