Der Arkussinus – geschrieben arcsin {\displaystyle \arcsin } oder asin {\displaystyle \operatorname {asin} } – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus ) – geschrieben arccos {\displaystyle \arccos } oder acos {\displaystyle \operatorname {acos} } – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion . Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsmenge auf das Intervall [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle [-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]} für Sinus und auf [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.
Arkussinus und Arkuskosinus im kartesischen Koordinatensystem arcsin (x ) arccos (x ) Beispiel: Umkehrung der Kosinus- und Sinusfunktion[1] Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen . Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise f − 1 {\displaystyle f^{-1}} beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} und cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} die klassische Schreibweise arcsin {\displaystyle \arcsin } bzw. arccos {\displaystyle \arccos } zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans ) führen kann.[2]
Die Sinusfunktion ist 2 π {\displaystyle 2\pi } -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv . Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert )
arcsin : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] , {\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],} die Umkehrfunktion der Einschränkung sin | [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \sin |_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}} der Sinusfunktion auf das Intervall [ − π 2 , π 2 ] , {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],} betrachtet.
Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von cos | [ 0 , π ] {\displaystyle \cos |_{[0,\pi ]}} definiert. Dies ergibt mit
arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] {\displaystyle \arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]} ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels
arccos ( x ) + arcsin ( x ) = π 2 {\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}} lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.
Arkussinus Arkuskosinus Funktionsgraph Definitionsmenge [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} Bildmenge [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend Symmetrien Ungerade Funktion (Punktsymmetrie zu ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ): arcsin ( − x ) = − arcsin ( x ) {\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x)} Punktsymmetrie zu ( 0 , π 2 ) : {\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)\colon } arccos ( x ) = π − arccos ( − x ) {\displaystyle \arccos(x)=\pi -\arccos(-x)} Asymptoten keine keine Nullstellen Eine Nullstelle bei x = 0 {\displaystyle x=0} Eine Nullstelle bei x = 1 {\displaystyle x=1} Sprungstellen keine keine Polstellen keine keine Extrema Globales Maximum π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} an der Stelle 1 {\displaystyle 1} , globales Minimum − π 2 {\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}} an der Stelle − 1 {\displaystyle -1} Globales Maximum π {\displaystyle \pi } an der Stelle − 1 {\displaystyle -1} , globales Minimum 0 {\displaystyle 0} an der Stelle 1 {\displaystyle 1} Wendepunkte ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ( 0 , π 2 ) {\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
sin ( arccos ( x ) ) = 1 − x 2 {\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}} , denn für y = arccos ( x ) {\displaystyle y=\arccos(x)} gilt y ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle y\in \left[0,{\pi }\right]} und sin ( y ) = 1 − cos 2 ( y ) {\displaystyle \sin(y)={\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}} . cos ( arcsin ( x ) ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}} , denn für y = arcsin ( x ) {\displaystyle y=\arcsin(x)} gilt y ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} und cos ( y ) = 1 − sin 2 ( y ) {\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}} . sin ( arctan ( x ) ) = x 1 + x 2 {\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} , denn für y = arctan ( x ) {\displaystyle y=\arctan(x)} gilt y ∈ ] − π 2 , π 2 [ {\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} und sin ( y ) = tan ( y ) 1 + tan 2 ( y ) {\displaystyle \sin(y)={\frac {\tan(y)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(y)}}}} . cos ( arctan ( x ) ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} , denn für y = arctan ( x ) {\displaystyle y=\arctan(x)} gilt y ∈ ] − π 2 , π 2 [ {\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} und cos ( y ) = 1 1 + tan 2 ( y ) {\displaystyle \cos(y)={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(y)}}}} .Arkussinus d d x arcsin ( x ) = 1 1 − x 2 , − 1 < x < 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1} Arkuskosinus d d x arccos ( x ) = − 1 1 − x 2 , − 1 < x < 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1} Umrechnung d d x arccos ( x ) = − d d x arcsin ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)} Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:
arcsin ( x ) = ∫ 0 x d t 1 − t 2 = ∫ 0 1 x 1 − x 2 y 2 d y {\displaystyle \arcsin(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y} arccos ( x ) = ∫ x 1 d t 1 − t 2 = π 2 − ∫ 0 1 x 1 − x 2 y 2 d y {\displaystyle \arccos(x)=\int \limits _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y} Integralidentität mit dem Logarithmus Naturalis Bearbeiten Auch mit dem Logarithmus Naturalis kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
1 1 − x 2 = ∫ 0 1 4 ( y 2 + 1 ) π [ ( y 2 + 1 ) 2 − 4 x 2 y 2 ] d y {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {4\,(y^{2}+1)}{\pi {\bigl [}(y^{2}+1)^{2}-4\,x^{2}y^{2}{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y} Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht folgende Formel:
arcsin ( x ) = ∫ 0 1 1 π y ln ( y 2 + 2 x y + 1 y 2 − 2 x y + 1 ) d y {\displaystyle \arcsin(x)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\pi \,y}}\ln {\biggl (}{\frac {y^{2}+2xy+1}{y^{2}-2xy+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} y}
Die nun gezeigte Integralidentität wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinen Werken A simple proof of 1 + 1 / 2 2 + 1 / 3 2 + … = π 2 / 6 {\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6} und Another simple proof of 1 + 1 / 2 2 + 1 / 3 2 + … = π 2 / 6 {\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6} [4] aus dem Jahre 2003 behandelt. James Harper löste damit unter anderem das Basler Problem und konnte einige weitere Integralidentitäten aufstellen, welche das Bindeglied zwischen den Arkusfunktionen und den Areafunktionen beziehungsweise Logarithmusfunktionen darstellen. Beispielsweise gilt folgendes Integral:
∫ 0 1 1 y ln ( y 2 + y + 1 y 2 − y + 1 ) d y = π 2 6 {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\ln {\biggl (}{\frac {y^{2}+y+1}{y^{2}-y+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{6}}} Eine analoge Integralidentität nach demselben Grundmuster kann für das Quadrat des Arkuskosinus hervorgebracht werden:
arccos ( x ) 2 = π 2 3 − ∫ 0 1 2 y ln ( y 2 + 2 x y + 1 ) d y {\displaystyle \arccos(x)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{3}}-\int \limits _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\ln(y^{2}+2xy+1)\,\mathrm {d} y}
Integralidentität mit dem Areatangens Hyperbolicus Bearbeiten Und mit dem Areatangens Hyperbolicus kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
2 arcsin ( x ) 1 − x 2 = ∫ 0 1 2 x ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 2 y 2 ) d y {\displaystyle {\frac {2\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {2\,x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} y} Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht folgende Formel:
arcsin ( x ) 2 = ∫ 0 1 2 y [ artanh ( y ) − artanh ( 1 − x 2 y 1 − x 2 y 2 ) ] d y {\displaystyle \arcsin(x)^{2}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {2}{y}}{\biggl [}\operatorname {artanh} {\bigl (}y{\bigr )}-\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y}
Wenn der Grenzwert von dieser Identität für x = 1 {\displaystyle x=1} berechnet wird, dann entsteht für dieses Integral über den Areatangens Hyperbolicus folgende Identität:
∫ 0 1 1 y a r t a n h ( y ) d y = π 2 8 {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\,\mathrm {artanh} (y)\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{8}}} Und mit dieser Formel kann das Basler Problem bewiesen werden:
∫ 0 1 1 y a r t a n h ( y ) d y = ∫ 0 1 ( 1 y ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − 1 y 2 n − 1 ) d y = ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\,\mathrm {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=\int \limits _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{y}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\,y^{2n-1}{\biggr )}\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}} Daraus folgt:
∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 = π 2 8 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}} Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus Bearbeiten Arkussinus ∫ arcsin ( x a ) d x = x arcsin ( x a ) + a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)\,\mathrm {d} x=x\,\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} Arkuskosinus ∫ arccos ( x a ) d x = x arccos ( x a ) − a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int \arccos \left({\frac {x}{a}}\right)\,\mathrm {d} x=x\,\arccos \left({\frac {x}{a}}\right)-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus Bearbeiten Wenn der Arkussinus durch die identische Abbildungsfunktion geteilt wird, dann stellt diese Funktion den kardinalisierten Arkussinus dar.
Die ursprüngliche Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ist das sogenannte Arkussinusintegral und dies ist eine nicht elemenare Funktion:
∫ 0 x 1 y arcsin ( y ) d y = ∫ 0 1 1 z arcsin ( x z ) d z = Si 2 ( x ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {1}{y}}\arcsin(y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{z}}\arcsin(xz)\,\mathrm {d} z=\operatorname {Si} _{2}(x)} Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung gilt somit:
d d x Si 2 ( x ) = 1 x arcsin ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Si} _{2}(x)={\frac {1}{x}}\arcsin(x)} das bekannteste Beispiel für einen Wert dieser Stammfunktion: ∫ 0 1 1 x arcsin ( x ) d x = Si 2 ( 1 ) = π 2 ln ( 2 ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\operatorname {Si} _{2}(1)={\frac {\pi }{2}}\ln(2)} Mit dem Satz von Fubini kann der nun genannte Wert des Integrals bewiesen werden:
Si 2 ( 1 ) = ∫ 0 1 1 x arcsin ( x ) d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 − x 2 y ( 1 − x 2 y 2 ) 1 − y 2 d y d x = {\displaystyle \operatorname {Si} _{2}(1)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=} = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 − x 2 y ( 1 − x 2 y 2 ) 1 − y 2 d x d y = ∫ 0 1 π y 2 1 − y 2 ( 1 + 1 − y 2 ) d y = π 2 ln ( 2 ) {\displaystyle =\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}\ln(2)} Mit diesem Arkussinusintegral kann ebenso das sogenannte Arkustangensintegral direkt erzeugt werden:
2 T i 2 [ x ( 1 + 1 − x 2 ) − 1 ] = 4 S i 2 ( 1 2 1 + x − 1 2 1 − x ) − S i 2 ( x ) {\displaystyle 2\,\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}x(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}{\bigr ]}=4\,\mathrm {Si} _{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+x}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}\,{\bigr )}-\mathrm {Si} _{2}(x)} Siehe auch: Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte
Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[5]
x {\displaystyle x} arcsin ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} arccos ( x ) {\displaystyle \arccos(x)} 0 {\displaystyle 0} 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 0 {\displaystyle 0} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 1 2 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 1 2 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 1 {\displaystyle 1} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 0 {\displaystyle 0}
Weitere wichtige Werte sind:
x {\displaystyle x} arcsin ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} arccos ( x ) {\displaystyle \arccos(x)} 1 4 ( 6 − 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} π 12 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }} 5 π 12 {\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}} 1 4 ( 5 − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)} 18 ∘ {\displaystyle 18^{\circ }} π 10 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}} 72 ∘ {\displaystyle 72^{\circ }} 2 π 5 {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}} 1 4 10 − 2 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}} 36 ∘ {\displaystyle 36^{\circ }} π 5 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}} 54 ∘ {\displaystyle 54^{\circ }} 3 π 10 {\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}} 1 4 ( 1 + 5 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)} 54 ∘ {\displaystyle 54^{\circ }} 3 π 10 {\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}} 36 ∘ {\displaystyle 36^{\circ }} π 5 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}} 1 4 10 + 2 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}} 72 ∘ {\displaystyle 72^{\circ }} 2 π 5 {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}} 18 ∘ {\displaystyle 18^{\circ }} π 10 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}} 1 4 ( 6 + 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }} 5 π 12 {\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} π 12 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch :
arcsin ( x ) = x 1 − x 2 1 − 1 ⋅ 2 x 2 3 − 1 ⋅ 2 x 2 5 − 3 ⋅ 4 x 2 7 − 3 ⋅ 4 x 2 9 − 5 ⋅ 6 x 2 11 − … {\displaystyle \arcsin(x)={\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{5-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{7-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{9-{\cfrac {5\cdot 6x^{2}}{11-\ldots }}}}}}}}}}}}} Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
arcsin z = − i ln ( i z + 1 − z 2 ) {\displaystyle \arcsin z=-\mathrm {i} \,\ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)} arccos z = − i ln ( z + i 1 − z 2 ) {\displaystyle \arccos z=-\mathrm {i} \,\ln \left(z+\mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}}\right)} Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:
Für arcsin z {\displaystyle \arcsin z} :
sin ( x ) = e i x − e − i x 2 i e i x − e − i x 2 i = z e i x − 1 e i x = 2 z i ( e i x ) 2 − 1 = 2 z i e i x ( e i x ) 2 − 2 z i e i x − 1 = 0 e i x = − − 2 z i 2 ± ( − 2 z i 2 ) 2 − ( − 1 ) e i x = z i ± 1 − z 2 i x = ln ( z i ± 1 − z 2 ) x = ln ( z i ± 1 − z 2 ) i x = ln ( z i ± 1 − z 2 ) i i 2 x = ln ( z i ± 1 − z 2 ) i − 1 x = − i ln ( z i ± 1 − z 2 ) arcsin z = − i ln ( z i ± 1 − z 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}\\{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}&=z\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-{\frac {1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}&=2z\mathrm {i} \\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-1&=2z\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-2z\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-1&=0\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=-{\frac {-2z\mathrm {i} }{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-2z\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}-(-1)}}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\\mathrm {i} x&=\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})}{\mathrm {i} }}\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{-1}}\\x&=-\mathrm {i} \,\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\\arcsin z&=-\mathrm {i} \,\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\\end{aligned}}} Für arccos z {\displaystyle \arccos z} :
cos ( x ) = e i x + e − i x 2 e i x + e − i x 2 = z e i x + 1 e i x = 2 z ( e i x ) 2 + 1 = 2 z e i x ( e i x ) 2 − 2 z e i x + 1 = 0 e i x = − − 2 z 2 ± ( − 2 z 2 ) 2 − 1 ) e i x = z ± z 2 − 1 i x = ln ( z ± i 1 − z 2 ) x = ln ( z ± i 1 − z 2 ) i x = ln ( z ± i 1 − z 2 ) i i 2 x = ln ( z ± i 1 − z 2 ) i − 1 x = − i ln ( z ± i 1 − z 2 ) arccos z = − i ln ( z ± i 1 − z 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}\\{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}&=z\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+{\frac {1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}&=2z\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}+1&=2z\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-2z\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+1&=0\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=-{\frac {-2z}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-2z}{2}}\right)^{2}-1)}}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=z\pm {\sqrt {z^{2}-1}}\\\mathrm {i} x&=\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})}{\mathrm {i} }}\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{-1}}\\x&=-\mathrm {i} \,\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\\arccos z&=-\mathrm {i} \,\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\\end{aligned}}} James D. Harper: A simple proof of 1 + 1 / 2 2 + 1 / 3 2 + … = π 2 / 6 {\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6} The American Mathematical Monthly 109(6) (Jun. – Jul., 2003) 540–541. ↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie . 3.3 Die Umkehrfunktionen. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63831-6 , S. 46 . ↑ Eric W. Weisstein : Inverse Trigonometric Functions . In: MathWorld (englisch). ↑ Derrick Henry Lehmer: Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient . Volume 92, 1985. Seite 452 ↑ James D.Harper, Another simple proof of 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} , American Mathematical Monthly, Band 110, Nr. 6, 2003, S. 540–541↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt . Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).