Pythagoreisches Tripel
In der Zahlentheorie besteht ein Pythagoreisches Tripel oder Pythagoreisches Zahlentripel aus drei verschiedenen natürlichen Zahlen[1], bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl ist. Nach dem Satz des Pythagoras können die drei Zahlen eines Pythagoreischen Tripels auch als die Seitenlängen eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks in der Euklidischen Geometrie aufgefasst werden. Wenn , und außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel.
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Geschichte
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Plimpton_322.jpg/220px-Plimpton_322.jpg)
Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.). Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel,[2] u. a. ,
und
, was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln nur aus einem demotischen Papyrus des 3. Jahrhunderts v. Chr. bekannt,[3] doch wurde auch die Verwendung insbesondere der Tripel
und
für Böschungswinkel bei einigen Pyramiden aus einer Zeit rund zweitausend Jahre vor dem erwähnten Papyrus diskutiert.[4]
Das indische Baudhayana-Sulbasutra aus dem 6. Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.[5]
Pythagoreische Tripel wurden bei den Griechen von Euklid, nach dem Kommentar von Proklos zu Euklids Elementen von Pythagoras und Platon behandelt und später von Diophant.
Beispiele
Bearbeitenist das kleinste und bekannteste pythagoreische Tripel. Es ist primitiv, denn die drei natürlichen Zahlen haben nur 1 als Teiler gemeinsam.
und
sind Beispiele für weitere kleine primitive pythagoreische Tripel.
- Beispiele für nicht primitive pythagoreische Tripel sind
mit
als einem gemeinsamen Teiler oder
mit dem gemeinsamen Teiler
.
Erzeugung der pythagoreischen Tripel
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/f/f8/PythTrip.gif/250px-PythTrip.gif)
Die drei Formeln
liefern für beliebige [1] ein pythagoreisches Tripel
. Es ist genau dann primitiv, wenn
und
teilerfremd und nicht beide ungerade sind.
Diese Formeln wurden von Euklid angegeben (Elemente, Buch 10, Proposition 29, Lemma 1).[6] Sie werden manchmal indische Formeln genannt, da sie explizit auch vom indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) knapp 900 Jahre später angegeben wurden.[7][8] Möglicherweise waren sie auch den Babyloniern bekannt bei ihrer Erstellung pythagoreischer Tripel,[9] denn die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der babylonischen Multiplikationsformel
wenn man und
setzt und mit
multipliziert:
.
Umgekehrt lässt sich jedes primitive pythagoreische Tripel mit Hilfe dieser Formeln aus teilerfremden
erzeugen.
Jedes pythagoreische Tripel kann aus einem primitiven pythagoreischen Tripel
durch
berechnet werden. Die natürliche Zahl
ist der größte gemeinsame Teiler von
und damit eindeutig bestimmt.
Beispiele:
liefert das Tripel
.
- Multiplikation mit
liefert
. Es ergibt sich auch nach der babylonischen Multiplikationsformel aus
Weil
und
beide ungerade sind, ist es nicht primitiv.
liefert das primitive Tripel
.
- Multiplikation mit
liefert
; dies ist ein pythagoreisches Tripel, das sich nicht mit den Formeln nach Euklid erzeugen lässt. Diese erzeugen zwar alle primitiven, aber nur einen Teil der nicht-primitiven Tripel.
Die Verbindung der von B. Berggren (1934)[10] und von A. Hall (1970)[11] bekannten Baumstruktur der primitiven pythagoreischen Tripel mit der modularen Gruppe untersuchte R. C. Alperin (2005)[12]. Sämtliche primitiven pythagoreischen Tripel lassen sich über sieben verschiedene Lineartransformationen, jeweils ausgehend von , in (bis auf die Anordnung) genau drei verschiedenen ternären Wurzelbäumen erzeugen, wie Firstov allgemein bewies.[13] Genau ein Wurzelbaum hat mit einem anderen jeweils eine Lineartransformation gemeinsam, eine davon erzeugt bspw. alle (primitiven) pythagoreischen Tripel
, auch alle mit einer beliebigen ungeraden Primzahl
, und der von Price[14] entdeckte andere Wurzelbaum die beiden (gemischten) Darstellungen
und
der primitiven Tripel mit ungeradem
, einem dazu teilerfremden
und
.[15]
Herleitung der Formel zur Bildung der pythagoreischen Tripel
BearbeitenIst ein pythagoreisches Tripel, so ergibt die Division der zugehörigen Gleichung
durch
.
Die Zahlen und
sind rational und positiv und erfüllen die Koordinatengleichung des Einheitskreises
.
Also ist ein Punkt mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis. Die Gerade durch die Punkte
und
schneidet die
-Achse in einem Punkt
, wobei
die Steigung dieser Geraden ist, für die gilt:
Daher ist eine rationale Zahl.
Eliminiert man aus dieser Gleichung und der des Einheitskreises, erhält man mit
eine Bestimmungsgleichung für .
Wegen gilt
, sodass man beide Seiten durch
dividieren darf:
Damit haben wir also
oder, weil man mit teilerfremden natürlichen Zahlen
setzen kann:
Dies ergibt das pythagoreische Tripel
Es kann vorkommen, dass ,
und
einen gemeinsamen Teiler
haben. Aus
würde beispielsweise
folgen.
Als einzige Möglichkeit hierfür kommt jedoch in Betracht. Denn angenommen, eine ungerade Primzahl
teilte sowohl
als auch
, so wäre
und
woraus man, weil prim und
teilerfremd zu
ist, so weiter schließen kann:
Die ungerade Primzahl teilt also
und wegen
auch
. Das steht jedoch in Widerspruch zur Teilerfremdheit von
und
, sodass
nicht ungerade sein kann. Also bleibt nur
, was mit
offenbar auch tatsächlich möglich und immer der Fall ist.
Man kann solche , die teilerfremd und beide ungerade sind, jedoch aussortieren, ohne primitive pythagoreische Tripel zu verlieren. Denn, wenn
und
das Tripel
ergeben, so ergeben
und
das Tripel
. Dabei sind
teilerfremd und nicht beide ungerade.
Weitere Formeln für pythagoreische Tripel
BearbeitenAus der Antike stammen nach Proklos die Formeln von Pythagoras und Plato.
Pythagoras gibt die Seitenlängen
für ungerades an.Plato gibt die Seitenlängen
für gerade an.
Setzt man mit
, ergibt die Formel von Pythagoras
.
Die Formel für Plato ergibt für mit
.
Viele weitere Formeln findet man unter Formeln zur Erzeugung pythagoreischer Tripel.
Primitive pythagoreische Tripel
BearbeitenPrimitive pythagoreischen Tripel sind solche, für die
und
keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben (diese drei Zahlen sind dann auch paarweise teilerfremd).
- Die größte Zahl
ist ungerade, von den Zahlen
und
ist jeweils eine gerade und eine ungerade.
- Für jeden Primfaktor
von
gilt:
.[16]
- Für jeden Primfaktor
des Quadrats der Kathetenhalbierenden
gilt:
.[17]
- Das Produkt
aller drei Zahlen ist immer durch 60 teilbar.
Beispiele primitiver pythagoreischer Tripel
BearbeitenNach den Euklidischen Regeln erhält man als primitive pythagoreische Tripel zum Beispiel (aufsteigend geordnet nach und bei Gleichheit dann nach der kleineren Zahl
):
m | n | a | b | c | m | n | a | b | c | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | |||
4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | |||
3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 10 | 1 | 99 | 20 | 101 | |||
6 | 1 | 35 | 12 | 37 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | |||
5 | 2 | 21 | 20 | 29 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | |||
4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | |||
8 | 1 | 63 | 16 | 65 | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
Die primitiven pythagoreischen Tripel mit (aufsteigend geordnet nach der größten der drei Zahlen und bei Gleichheit dann nach der kleinsten) sind:
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25) (20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97) (20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)
Bemerkenswertes
BearbeitenZwei Folgen von pythagoreischen Tripeln sind noch bemerkenswert:
und
[1] ergibt mit
- für jede Zahl
ein Tripel, das die ungerade Zahl
(als kleinste Zahl) enthält und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau
unterscheiden.
- Der Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks mit diesen Seitenlängen beträgt
.
[1] und
ergibt mit
- für die durch 4 teilbare Zahl
ein Tripel, das
(als kleinste Zahl, außer für
, dort ist es die mittlere Zahl) enthält und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau
unterscheiden.
- Der Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks mit diesen Seitenlängen beträgt
.
Auch in dem noch fehlenden Fall des Doppelten einer ungeraden Zahl findet man leicht immer ein (natürlich nicht primitives) pythagoreisches Tripel, indem man die Lösungen der ersten Folge einfach zu
verdoppelt. Somit kann man zu jeder natürlichen Zahl
ein Zahlenpaar
finden, mit dem sich
zu einem pythagoreischen Tripel
ergänzen lässt – bei ungeradem
mit der Differenz 1, bei geradem
mit Differenz 2:
a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 4 | 5 | 11 | 60 | 61 | 19 | 180 | 181 | ||
4 | 3 | 5 | 12 | 35 | 37 | 20 | 99 | 101 | ||
5 | 12 | 13 | 13 | 84 | 85 | 21 | 220 | 221 | ||
*6 | 8 | 10 | *14 | 48 | 50 | *22 | 120 | 122 | ||
7 | 24 | 25 | 15 | 112 | 113 | 23 | 264 | 265 | ||
8 | 15 | 17 | 16 | 63 | 65 | 24 | 143 | 145 | ||
9 | 40 | 41 | 17 | 144 | 145 | 25 | 312 | 313 | ||
*10 | 24 | 26 | *18 | 80 | 82 | *26 | 168 | 170 |
Mit * sind nichtprimitive Tripel markiert. Diese Fälle für sind redundant, da sie auch durch Verdoppelung von
entstehen.
Alternative Formel zur Erzeugung primitiver pythagoreischer Tripel
BearbeitenDie babylonischen Multiplikationsformel
liefern für teilerfremde ungerade [1] mit
ein primitives pythagoreisches Tripel.[19]
Höhe primitiver pythagoreischer Tripel
BearbeitenPrimitive pythagoreische Tripel mit
haben (zur Hypotenuse) stets eine unkürzbare Höhe
.
Verallgemeinerung auf pythagoreische (N + 1)-Tupel
BearbeitenPythagoreische Tripel können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf einem Kreis mit ganzzahligem Radius aufgefasst werden. Diese Idee lässt sich auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern derart, dass ein pythagoreisches -Tupel einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf einer
-dimensionalen Hypersphäre mit ganzzahligem Radius darstellt.
Alle diese -Tupel sind Lösungen der diophantischen Gleichung
, wobei
den Radius bezeichnet. Für jedes
sind für alle
-Tupel ganzer Zahlen unendlich viele Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Identität gegeben:
- mit
sowie
für alle
.
Damit ergibt sich als Summe von Quadraten ganzer Zahlen und somit als natürliche Zahl zu
. Der Beweis erfolgt direkt durch Einsetzen und Vereinfachen:
Beweis der Identität
BearbeitenDies stimmt offensichtlich mit der rechten Seite der Gleichung überein, womit die Gültigkeit der Identität für alle -Tupel ganzer Zahlen gezeigt ist.
Alternativer Beweis
BearbeitenEine bequemere Notation des Sachverhaltes und eine Formulierung als Satz ergibt sich durch Betrachtung der folgenden Abbildung:
Seien sowie
mit
, wobei
die
-te Komponente von
,
die
-Einheitsmatrix und
das dyadische Produkt des
-ten kanonischen Einheitsvektors mit dem Vektor
bezeichnen. Dann gilt:
Anschaulich handelt es sich hierbei um eine Abbildung, die jeden Gitterpunkt eines kartesischen Gitters auf einen weiteren solchen Gitterpunkt – mit der Eigenschaft, ganzzahligen euklidischen Abstand zum Ursprung zu haben – abbildet.
Der Beweis erfolgt auch hier durch einfaches Ausrechnen:
Das entspricht gerade der zuvor bewiesenen Identität.
Anzahl der Lösungen
BearbeitenDie Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung hängt sowohl von
als auch von
ab. Für
und
kann die Anzahl der Lösungen für
der folgenden Tabelle entnommen werden. Dabei bezeichnet
die Anzahl der Lösungen in
Dimensionen für den Abstand
und
die Gesamtanzahl aller Lösungen mit Abstand
, es gilt also:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Folge in der OEIS | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6 | 6 | 30 | 6 | 30 | 30 | 54 | 6 | 102 | 30 | OEIS:A267651 | |
8 | 24 | 104 | 24 | 248 | 312 | 456 | 24 | 968 | 744 | OEIS:A267326 | |
6 | 12 | 42 | 48 | 78 | 108 | 162 | 168 | 270 | 300 | OEIS:A267309 | |
8 | 32 | 136 | 160 | 408 | 720 | 1176 | 1200 | 2168 | 2912 | OEIS:A264390 |
Die Einträge in der Folge sind durch
teilbar. Danny Rorabaugh hat dies am Beispiel
gezeigt.[20] Der Beweis lässt sich problemlos auf alle
verallgemeinern.
Gilt , so besitzt die diophantische Gleichung
nur triviale Lösungen der Form
. Interessanterweise muss
gelten, damit für alle
eine nichttriviale Lösung existiert. Dies folgt unmittelbar aus dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, wonach jede natürliche Zahl (und damit auch jede Quadratzahl) als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellbar ist, und der Tatsache, dass die einzige Darstellung
als Summe von Quadratzahlen durch
gegeben ist.
Zwillingstripel
BearbeitenEin Zwillingstripel ist ein spezielles Pythagoreisches Tripel , bei dem sich die Katheten um 1 unterscheiden.
ist das kleinste Zwillingstripel, weitere sind
und die mit 696, 4059, 23660, 137903 oder 803760 beginnenden Tripel. Schon Albert Girard waren im 17. Jahrhundert 14 solcher Tripel bekannt, das höchste mit
.
Es gibt unendlich viele solcher Tripel, wie Pierre de Fermat zeigte, denn mit ist auch
ein solches Tripel.[21] Eine weitere Formel ergibt sich aus der Standardform
über
und einsetzen von
,
als Lösung der Pell-Gleichung
.[22][23] Sind
die Generatoren eines solchen Tripels in der oben angegebenen Standardform, so sind
Generatoren eines weiteren Tripels. Aufeinanderfolgende Werte
erhält man über
und es gilt
.[24] Werden die Kathetenlängen
der Lösungen nach Größe geordnet, so ist
und
. Es gibt auch explizite Formeln für
.[25]
Außerdem gibt es unendlich viele Zwillingstripel, bei denen sich eine Seite und die Hypotenuse um 1 unterscheidet, wie z. B. (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), (13,84,85) oder (15,112,113). Das Quadrat von a ist die Summe der Zwillinge des Tripels:
Daher haben diese Zwillingstripel die Form .
Zusammenhang mit den heronischen Dreiecken
BearbeitenJedes zu einem pythagoreischen Tripel gehörige Dreieck ist ein heronisches Dreieck, das heißt, sowohl die Seitenlängen als auch der Flächeninhalt sind rationale Zahlen. Jedes heronische Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, die durch pythagoreische Tripel aus rationalen Zahlen gegeben sind.
Die Fermatsche Gleichung
BearbeitenEine Verallgemeinerung der pythagoreischen Tripel erhält man, wenn man den Exponenten 2 durch eine natürliche Zahl ersetzt. Man untersucht also die diophantische Gleichung
und sucht nach Lösungen durch ganze Zahlen unter Ausschluss der trivialen Lösungen, bei denen eine der drei Zahlen gleich Null ist, oder durch natürliche[1] Zahlen.
Pierre de Fermat stellte um das Jahr 1637 die Behauptung auf, dass es keine derartigen Tripel gibt. Obwohl er keinen Beweis angab, wird diese Vermutung als großer Fermatscher Satz bezeichnet. Jahrhundertelang konnte kein Beweis gefunden werden. Die Suche danach führte aber zu vielen interessanten Erkenntnissen, insbesondere in der Zahlentheorie. Erst 1995 konnte der Mathematiker Andrew Wiles den Satz von Fermat schließlich beweisen.
Fermat besaß einen Beweis für den Fall und behandelte den eng verwandten Fall eines heronischen Dreiecks, dessen Flächeninhalt ein Quadrat ist (siehe Unendlicher Abstieg). Dieses Problem geht auch auf Diophant zurück.
Algorithmus
BearbeitenEin möglicher Algorithmus in der Programmiersprache Haskell könnte folgendermaßen aussehen. Er erstellt für eine natürliche Zahl alle möglichen Tripel, deren Hypotenuse
nicht überschreitet:
pythTripels n = [(k*x, k*y, k*z) | (x,y,z) <- primitives, k <- [1..n`div`z]] where primitives = [(p^2-q^2, 2*p*q, p^2+q^2) | p <- takeWhile (\p -> p^2+1 <= n) [1..], q <- takeWhile (\q -> p^2+q^2 <= n) [1..p], odd (p+q) && gcd p q == 1]
In Python ist List Comprehension ein elegantes Mittel, um pythagoreische Tripel zu bestimmen (Beispiel für alle Tripel mit c<100):
[(a, b, c) for a in range(1, 100) for b in range(a, 100) for c in range(b, 100) if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2]
In der Literatur
BearbeitenIn der Science-Fiction-Geschichte Ein Experiment, 1913 anonym von Hans Dominik in Das Neue Universum erschienen, werden Folgen von Funkimpulsen, deren Anzahlen die pythagoreischen Tripel und
bilden, zu einem Planeten gesendet in der Hoffnung, dort intelligente Außerirdische ansprechen zu können.
Siehe auch
BearbeitenWeblinks
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
- Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1.
- Georges Ifrah: The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer. Translated from the French by David Bellos, E. F. Harding, Sophie Wood, and Ian Monk. First published in France with the title Histoire universelle des chiffres by Editions Robert Laffont, Paris, in 1994. Harvill Press, London 1998, ISBN 1-86046-324-X.
- Andreas Loos, Hans-Joachim Rein: Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und einem Innenwinkel von 60°, 90° oder 120°. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (MNU). 37. Jahrg., 1984, Heft 5, S. 275–279.
- Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ a b c d e f In diesem Artikel gilt
0 ist also keine natürliche Zahl.
- ↑ Georges Ifrah: The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer. S. 151.
- ↑ Corinna Rossi: Mathematics and Architecture in Ancient Egypt. Cambridge UP 2003, S. 217. Sie zitiert Richard Parker: Demotic Mathematical Papyri. Brown University Press 1972, S. 3–4, 35–40.
- ↑ Rossi, loc. cit., S. 219. Die Chephren-Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 53° käme demnach für die Verwendung von
in Betracht, die Rote Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 43° für
.
- ↑ Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 68.
- ↑ David Joyce: Euclids Elements.
- ↑ Dickson: History of the Theory of Numbers. Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 166.
- ↑ Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 225.
- ↑ André Weil: Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser 1984, S. 8. Als Alternative gibt er die Formel
an, wobei die Babylonier entsprechend ihrem Zahlensystem auf Basis 60 für
nur Produkte von 2, 3, 5 genommen hätten und
und
sich durch systematisches Ausprobieren ergäben.
- ↑ B. Berggren: Pytagoreiska trianglar. Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (in Swedish) 17 (1934), S. 129–139.
- ↑ A. Hall: Genealogy of Pythagorean triads. Math. Gazette 54 (1970), S. 377–379.
- ↑ R. C. Alperin: The Modular Tree of Pythagoras. (PDF) In: math.sjsu.edu. 2005, abgerufen am 4. Juni 2020.
- ↑ V. E. Firstov: A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples. (PDF; 669 kB) In: mathnet.ru. 2008, abgerufen am 4. Mai 2020.
- ↑ H. Lee Price: The Pythagorean Tree: A New Species. (PDF; 298 kB) In: arxiv.org. September 2008, abgerufen am 29. Februar 2020.
- ↑ Frank Bernhart, H. Lee Price: Heron’s Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles. (PDF; 285 kB) In: arxiv.org. 1. Januar 2007, abgerufen am 29. Februar 2020.
- ↑ OEIS:A058529.
- ↑ [1]
- ↑ Die letztgenannte Formel nennt schon Pythagoras (etwa 570–510 v. Chr.); vgl. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 225.
- ↑ Franz Lemmermeyer: Kreise und Quadrate modulo p. (PDF; 331 kB; S. 2.) In: researchgate.net. Abgerufen am 11. Oktober 2020.
- ↑ Folge A267651 in OEIS
- ↑ Leonard E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Band 2, S. 181f
- ↑ Twin Pythagorean Triples, Wolfram
- ↑ Vergleiche die OEIS Sequenzen 001652,046090,001653
- ↑ Albert Beiler, Recreations in the theory of numbers, Dover 1966, S. 123
- ↑ Albert Beiler, S. 125