Würfelverdoppelung
Die Würfelverdoppelung, auch bekannt als Delisches Problem, bezeichnet die geometrische Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen zweiten Würfel mit dem doppelten Volumen zu konstruieren. Das Problem gehört zu den drei „klassischen Problemen der antiken Mathematik“ und wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland formuliert.
![Würfelverdoppelung](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/01-W%C3%BCrfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg/200px-01-W%C3%BCrfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg.png)
Ein Ausgangswürfel mit der Kantenlänge (ein sogenannter Einheitswürfel) hat das Volumen Ein weiterer Würfel habe die Kantenlänge und das Volumen Die neue Kantenlänge ist die Kubikwurzel aus , also . Diese kann als Grenzwert geeigneter Folgen bestimmt werden, ist jedoch aus den Strecken 0 und 1 über Zirkel und Lineal nicht in endlich vielen Schritten konstruierbar. Versucht man also das Problem der Würfelverdoppelung ausschließlich mit den Hilfsmitteln zu bearbeiten, die Euklid in seinen Elementen nutzte, nämlich mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, ist es nicht lösbar. Diese Aussage lässt sich in die Fachsprache der Algebra übersetzen, wodurch schließlich ein mathematischer Beweis für die Unmöglichkeit der Konstruktion angegeben werden kann. Ein solcher wurde zuerst vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel im Jahr 1837 geführt. Jedoch gilt es als sehr wahrscheinlich, dass Carl Friedrich Gauß bereits früher einen Beweis kannte, diesen aber nicht niederschrieb.
Identische Probleme bestehen bei Vergrößerungen des Würfelvolumens auf das 3-, 4-, 5-, 6- und 7-fache des ursprünglichen Rauminhaltes. Dagegen ist die Aufgabe zum Beispiel einer Volumenverachtfachung kein Problem, weil die Kubikwurzel aus 8 problemlos berechenbar und die resultierende Kantenlängenverdoppelung leicht machbar ist.
Schwächt man die Einschränkung ab und lässt ein zusätzliches Hilfsmittel zu, wie zum Beispiel entsprechende Markierungen auf dem Lineal oder spezielle Kurven, dann ist die Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen möglich. Entsprechende Verfahren waren bereits in der Antike bekannt.
Geschichtliches aus der Antike
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/01-W%C3%BCrfelverdoppelung-4.svg/330px-01-W%C3%BCrfelverdoppelung-4.svg.png)
Die wichtigste antike Quelle zur Würfelverdoppelung ist der Kommentar des spätantiken Autors Eutokios zu Archimedes’ Schrift „Über Kugel und Zylinder“ („Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Peri sphairas kai kylindrou“), in dem diverse Lösungsansätze antiker Mathematiker gesammelt sind.[1] Unter anderem wird dort ein Brief des Gelehrten Eratosthenes (um 275–194 v. Chr.) an einen König Ptolemaios (wohl Ptolemaios III. oder Ptolemaios IV.) wörtlich zitiert, der mittlerweile als authentische Wiedergabe des Originalbriefes erwiesen wurde und in dem der Wissenschaftler sich dem Herrscher gegenüber zur Frage der Würfelverdopplung äußert.[2] Als ältesten Beleg für dieses mathematische Problem zitiert Eratosthenes dort „einen der alten Tragödiendichter“ („τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν tōn archaiōn tina tragōdopoiōn“), in dessen Werk der mythische König Minos das Grab seines Sohnes Glaukos errichten lässt und den Baumeister anweist, es doppelt so groß wie den ersten Entwurf anzufertigen, aber die Würfelform beizubehalten.[3] Von den drei bedeutenden athenischen Tragödiendichtern des 5. Jahrhunderts v. Chr. – Aischylos, Sophokles und Euripides – weiß man, dass sie in je einem ihrer Werke die Sage von Minos und Glaukos aufgriffen; dennoch ist möglich, dass das Zitat aus einer Tragödie eines ganz anderen Dichters stammt.[4]
Die Alternativbezeichnung „Delisches Problem“ geht auf eine Episode zurück, die Eratosthenes in seinem Brief ebenfalls anführt,[3] die aber auch bei diversen anderen antiken Autoren (darunter Plutarch und Theon von Smyrna) beschrieben wird und der aus altertumswissenschaftlicher Sicht durchaus ein tatsächliches historisches Ereignis zugrunde liegen könnte: Die Bewohner der Insel Delos hätten während einer schweren Seuche ein Orakel um Rat gefragt, was sie tun könnten, um ihre Situation zu verbessern. Das Orakel habe sie angewiesen, den würfelförmigen Altar im Apollontempel der Insel in seiner Größe – also seinem Volumen – zu verdoppeln. Die delischen Architekten seien jedoch ratlos gewesen, wie das konkret zu bewerkstelligen wäre, und hätten daraufhin Platon (428/427–348/347 v. Chr.) um Rat gebeten.[3] Dieser habe sie an Archytas von Tarent, Eudoxos von Knidos und Menaichmos verwiesen, die ihnen jeweils unterschiedliche Lösungsansätze eröffnet hätten. Laut Plutarch habe Platon deren Ansätze jedoch kritisiert, da sie ihm zufolge durch die Nutzung mechanischer Methoden das „Gute“, Elegante der Geometrie zerstören.[5] Im Archimedes-Kommentar des Eutokios wird Platon interessanterweise auch eine eigene mechanische Lösung des Delischen Problems (siehe Abschnitt Platons mechanische Methode) zugeschrieben. Sofern damit nicht ein anderer Platon gemeint ist als der berühmte Philosoph, dürfte es sich dabei nach vorherrschender Forschungsmeinung jedoch um eine Falschzuschreibung handeln.[6]
Ähnliche Probleme aus der Konstruktion von Altären (allerdings mit dem Problem der Verdopplung eines Quadrats statt eines Würfels) gab es in vedischer Zeit in Indien und sie gaben zu mathematischen Erörterungen Anlass (Sulbasutras).[7] Beim Quadrat lässt sich die Aufgabe der Verdopplung durch den Satz des Pythagoras lösen.
Antike Lösungen mit zusätzlichen Hilfsmitteln
- Hippokrates von Chios (zweite Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr.) zeigte als Erster den maßgeblichen Ansatz für eine theoretische Lösung des Problems. Er fand: Das Problem der Würfelverdoppelung ist äquivalent zu demjenigen der Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen zweier Größen.[8] Dies bedeutet, dass für eine Strecke
nach zwei Strecken
und
gesucht wird, so dass
- Dies zieht
nach sich.
- Archytas von Tarent (435/410–355/350 v. Chr.) war der Erste, dem die Umsetzung des oben genannten Satzes von Hippokrates unter Zuhilfenahme der nach ihm benannten Kurve gelang; beschrieben im Abschnitt Kurve des Archytas.[9]
- Platon (428/427–348/347 v. Chr.) wurde von Eutokios als Erster benannt, der zur Lösung der Würfelverdoppelung eine mechanische Methode fand.[10] Wie bereits oben erwähnt, dürfte diese Lösung nicht von ihm stammen.
- Eudoxos (397/390–345/338 v. Chr.) fand eine Lösung – so wird berichtet – durch die Konstruktion der zwei mittleren Proportionalen mithilfe nicht näher bekannter Kurven und ihrer Schnittpunkte.[11]
- Menaichmos (um 380–320 v. Chr.) fand zwei Lösungen: eine, in der eine Parabel von einer Hyperbel geschnitten wird, und eine zweite, ausführlich beschrieben im Abschnitt Parabel nach Menaichmos, als Schnitt zweier Parabeln.[12]
- Eratosthenes (um 278–194 v. Chr.) beschreibt in seinem Brief an König Ptolemaios im Anschluss an seine Einführung zur Geschichte des Delischen Problems eine eigene „mechanische Methode“[13] durch einen Apparat, den er „Mesolabium“ nannte.[14]
- Diokles (um 240–180 v. Chr.) benutzte für seine Lösung eine nach ihm benannte Zissoide; beschrieben im Abschnitt Zissoide des Diokles.[15]
- Sporus (* um 240–um 300) wie auch Pappos erschufen eine Konstruktion, die nahezu gleich der von Dürer ist, beschrieben im Abschnitt Albrecht Dürers Konstruktion mithilfe eines Lineals mit Strichskale.
Beweis der Unlösbarkeit mittels Zirkel und Lineal
BearbeitenGeschichte des Beweises
BearbeitenGrundsätzlich griffen die Mathematiker der Antike bei der Lösung von Problemen nicht nur auf Zirkel und Lineal zurück. Die Vermutung, dass es eine solche methodische Beschränkung gegeben habe, erwies sich als neuzeitlicher Mythos.[16] Dass die Aufgabe bei alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal auch tatsächlich unlösbar ist, bewies Pierre Wantzel im Jahr 1837.[17][18] Sein Beweis beruhte auf folgenden algebraischen Überlegungen:[19]
- 1. Im ersten Teil des Beweises argumentiert er, dass, wenn ein Konstruktionsproblem mit Lineal und Zirkel gelöst werden kann, „die Unbekannte des Problems durch die Lösung einer Reihe von quadratischen Gleichungen erhalten werden kann, deren Koeffizienten rationale Funktionen der Parameter
des Problems und der Wurzeln der vorherigen Gleichungen sind“.
Mit der „Unbekannten des Problems“ ist dabei z. B. die gesuchte Strecke gemeint.
- 2. Danach zeigte er, dass jede algebraische Zahl
, die Lösung der letzten Gleichung
eines Systems
- ist, wobei die Koeffizienten
stets durch sukzessive Adjunktion im Körper
liegen, stets von einem Polynom des Grades
mit Koeffizienten in
gelöst wird. Dabei löst
die Gleichung
und
sind die gegebenen Parameter des Problems.
- 3. Wantzel wusste, dass jede algebraische Zahl Lösung eines Polynoms mit Grad einer Zweierpotenz ist, wenn diese hinreichend groß gewählt würde. Daher war sein Hauptresultat, zu zeigen, dass, wenn die Anzahl an benötigten Gleichungen zu einem Minimum reduziert würde, das resultierende Polynom irreduzibel über
ist.
Die Unmöglichkeit der Konstruktion folgt nun als Korollar aus den Sätzen 1 bis 3: Wäre, beginnend beim Einheitswürfel, die Konstruktion der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal möglich, so müsste Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über
sein, das als Grad eine Zweierpotenz hat. Das Polynom
ist irreduzibel über
, hat aber den Grad 3. Dies ist ein Widerspruch.
Es ist zu beachten, dass Wantzels Originalpublikation von dem Mathematikhistoriker Jesper Lützen als lückenhaft und schwer zu verstehen angesehen wird – dies betrifft vor allen Dingen den „Beweis“ des Hauptsatzes 3. Von Lützen wurden die Lücken im Nachhinein geschlossen und die Resultate, wie oben beschrieben, in moderner Fachsprache formuliert.[20] Wantzels Beweis für die Unmöglichkeit, die Verdoppelung des Würfels und die Dreiteilung des Winkels mit Lineal und Zirkel zu konstruieren, war nach seiner Veröffentlichung im Jahr 1837 fast ein Jahrhundert lang vergessen. Laut Lützen waren dabei die „mangelnde Berühmtheit des Autors“, die „Tatsache, dass einige seiner Zeitgenossen das Ergebnis als bekannt oder sogar als bewiesen ansahen“, und dass „das Ergebnis zum Zeitpunkt seiner Veröffentlichung nicht als wichtiges mathematisches Ergebnis angesehen wurde“, die treibenden Gründe.[21]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg/180px-Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg)
Es wird von Historikern bezweifelt, dass Wantzel als Erster um einen Beweis wusste, da der junge Carl Friedrich Gauß sehr wahrscheinlich über einen solchen verfügt hat.[22] Ein großer Teil seines 1801 erschienenen Werkes Disquisitiones arithmeticae ist der Frage gewidmet, welche Bedingungen eine Polynomgleichung erfüllen muss, um durch quadratische Radikale lösbar zu sein. Dort finden sich auch die nach Gauß benannten Sätze, mit deren Hilfe für die meisten klassischen Aufgaben die Unlösbarkeit mit Zirkel und Lineal nachgewiesen werden kann. Mit seinen entwickelten Techniken bewies Gauß zum Beispiel, dass sich das 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt. Die Tatsache, dass trotzdem Wantzel von vielen Autoren als Urheber der Sätze genannt und zitiert wird, führen die Mathematikhistoriker Christoph Scriba und Peter Schreiber auf die „Kommunikationsschwierigkeiten“ der Wissenschaft des 19. Jahrhunderts zurück.[23]
In heutiger Fachsprache ist der Beweis eine Anwendung der umfassenden Galoistheorie (nach Évariste Galois, französischer Mathematiker) und läuft im Kern darauf hinaus, dass die irrationale Zahl nicht durch ganze Zahlen, nicht durch die vier Grundrechenarten und auch nicht durch Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.
Algebraischer Beweis
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/01-W%C3%BCrfelverdoppelung-3.svg/320px-01-W%C3%BCrfelverdoppelung-3.svg.png)
Diese Zahl kann nicht aus ganzen Zahlen über Verkettungen aus Grundrechenoperationen wie Plus, Mal, Geteilt oder Quadratwurzeln gewonnen werden. Letztere sind aber genau die Zahlen, die bei den Strecken
Im Detail kann der Beweis der Unmöglichkeit über folgende Ideen aus der Algebra vollzogen werden. Es seien eine Menge von Punkten (komplexen Zahlen), welche mindestens 0 und 1 enthält, und ein beliebiger Punkt
gegeben. Es ist für diese Überlegungen von Wichtigkeit, dass die komplexen Zahlen als Ebene aufgefasst werden können – im Gegensatz dazu werden die reellen Zahlen schlicht als Gerade aufgefasst. Dann gilt, dass der Punkt
genau dann mit Zirkel und Lineal aus den Punkten
konstruierbar ist, falls er in einem Körper
(dabei ist
der Körper der komplexen Zahlen) liegt, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus dem Körper
hervorgeht. Dabei ist grob gesprochen die Menge, die aus Bilden aller Summen, Produkte und Quotienten aus rationalen Zahlen mit
entsteht. Hier ist
die Menge der komplex Konjugierten von
und das Symbol
steht für die Vereinigung zweier Mengen. Adjunktion einer Quadratwurzel bedeutet, dass es ein
geben muss, so dass
. Zum Beispiel geht
durch die Adjunktion einer Quadratwurzel aus den rationalen Zahlen hervor, da
eine rationale Zahl ist – entsprechend ist
die Menge aller Summen, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen mit der Zahl
. Bei
handelt es sich um eine sogenannte Körpererweiterung. Das Problem der Würfelverdopplung mittels Zirkel und Lineal lässt sich also auf die Frage reduzieren, ob die Zahl
in einem Teilkörper von
liegt, der aus
durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Das bedeutet jedoch, dass der Erweiterungsgrad von
aus
eine Potenz von 2 sein muss. Es ist aber
womit es unmöglich ist, die Würfelverdopplung mittels Zirkel und Lineal vorzunehmen.[24] Dass die Körpererweiterung vom Grad 3 ist, kann wie folgt gesehen werden: Das Polynom
ist irreduzibel über den ganzen Zahlen und hat als höchsten Koeffizienten 1. Nach dem Lemma von Gauß ist
dann bereits irreduzibel über den rationalen Zahlen. Damit ist
bereits das Minimalpolynom von
und dieses hat den Grad 3. Daraus ergibt sich die Erkenntnis, dass jedes Element der Menge
, bestehend aus allen rationalen Zahlen, die mit der Kubikwurzel aus 2 beliebig durch die Grundrechenarten „vermengt“ wurden, eindeutig als
mit rationalen Zahlen
geschrieben werden kann. Zum Beispiel ist
Damit wird zu einem drei-dimensionalen Vektorraum über
.
Mit dem gleichen Argument lässt sich zeigen, dass auch eine Würfelvervielfachung um einen natürlichen Faktor , der keine Kubikzahl ist, sich nicht mit Zirkel und Lineal bewerkstelligen lässt.
Geometrische Konstruktionen mit mechanischen Hilfsmitteln
BearbeitenNimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und unmarkiertes Lineal ein weiteres mechanisches Hilfsmittel, wie zum Beispiel ein spezielles mechanisches Werkzeug[25] oder ein entsprechend markiertes Lineal, so kann die zur Würfelverdoppelung erforderliche Kantenlänge des Würfels theoretisch exakt dargestellt werden.
Mithilfe eines markierten Lineals
BearbeitenKonstruktionen mithilfe einer sogenannten Einschiebung,[26] auch als Neusis-Konstruktionen bezeichnet, verwenden neben dem Zirkel auch ein Lineal, auf dem eine spezielle Markierung als zusätzliche Hilfe aufgebracht ist.
Die folgende Neusis-Konstruktion in Bild 1, Heinrich Dörrie nennt sie Papierstreifenkonstruktion,[27] ist eine der bekanntesten. Sie stammt ursprünglich von Isaac Newton aus seinem in Latein erschaffenen Werk Arithmetica Universalis.
Konstruktion 1
Bearbeiten- Bezeichnet man die Kante des Ausgangswürfels mit
, wird damit zunächst ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken
konstruiert. Es folgt die Verdoppelung der Strecke
ab
dabei ergibt sich der Schnittpunkt
Nun wird die Strecke
ab
verlängert. Anschließend wird eine Halbgerade ab
durch
gezeichnet. Nun setze ein mit dem Punkt
markiertes Lineal (Abstand Ecke
bis Punkt
entspricht
) so auf die Zeichnung, dass dessen Ecke
auf der Verlängerung der Strecke
anliegt, die Markierung Punkt
auf der Verlängerung der Strecke
aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt
verläuft. Abschließend verbinde den Punkt
mit
- Die Strecke
ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
Die Darstellung im Bild 2 sowie die folgende sinnmäßig übersetzte Beschreibung dazu, sind nach Isaac Newton.
- Ich ziehe eine beliebige Linie, K A = a, halbiere sie in C und ziehe um den Mittelpunkt K mit Abstand K C einen Kreisbogen, ich bestimme C X = b und ziehe eine gerade Linie durch A X und eine durch C X, ich markiere E Y = C A, sodass eine gerade Linie durch E Y sowie durch den Punkt K gehen kann. [...][28]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newton-1.svg/370px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newton-1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newton-0.svg/260px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newton-0.svg.png)
Konstruktion 2
BearbeitenVon Isaac Newton stammt auch diese weniger bekannte Neusis-Konstruktion (Bild 3),[29] die aber wegen ihrer Einfachheit bemerkenswert ist.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newton-2.svg/240px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newton-2.svg.png)
- Sie beginnt mit dem Errichten einer Senkrechten
, gleich der Kante
des Ausgangswürfels, auf eine Halbgerade ab
. Ein Winkelschenkel mit der Winkelweite
am Scheitel
schließt sich an. Nun setze ein mit dem Punkt
markiertes Lineal (Abstand Ecke
bis Punkt
entspricht
) so auf die Zeichnung, dass dessen Ecke
auf dem Winkelschenkel liegt, die Markierung Punkt
auf der Halbgeraden ab
aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt
verläuft. Abschließend verbinde den Punkt
mit
Der eingezeichnete Punkt
dient nur der einfacheren Formulierbarkeit im folgenden Beweis.
- Die Strecke
ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
Beweis der Richtigkeit
Bearbeiten- Das Bild 3 zeigt, die rechtwinkligen Dreiecke
(blau) und
(grün) sind wegen des Scheitelwinkels zueinander ähnlich,
- folglich gilt nach dem 2. Strahlensatz
- (1)
- (1)
- rechtwinkliges Dreieck
und Tangens
- (2)
- (2)
- Teile der Gleichung (2) quadriert
- (3)
- (3)
- umgeformt ergibt sich
- (4)
- (4)
- rechtwinkliges Dreieck
nach Satz des Pythagoras
- (5)
- (5)
- Wert von (5) eingesetzt in (4)
- (6)
- (6)
- umgeformt ergibt sich
- (7)
- (7)
- nach der Vereinfachung
- (8)
- (8)
- folgt daraus schließlich
- (9)
- (9)
- In Worten:
- Das Volumen des Würfels
mit der Kantenlänge
ist gleich dem doppelten Volumen
des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge
Albrecht Dürers Konstruktion mithilfe eines Lineals mit Strichskale
BearbeitenAlbrecht Dürer veröffentlichte 1525 in seinem Werk Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, neben einer Näherungskonstruktion zur Dreiteilung des Winkels auch eine theoretisch exakte Lösung zur Würfelverdoppelung.[30] Als zusätzliches Hilfsmittel verwendete er dafür ein Lineal mit aufgezeichneter Strichskale.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Sporus.svg/240px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Sporus.svg.png)
Bereits im 3. Jahrhundert n. Chr. löste Sporus von Nikaia dieses antike Problem anhand einer Konstruktion, die nahezu gleich der von Pappos und der von Dürer ist. Alle drei Lösungen benötigen eine sogenannte Neusis-Konstruktion. Im Gegensatz zu Dürer geben Sporus sowie Pappos keine näheren Hinweise bezüglich einer Markierung auf dem Lineal, mit dessen Hilfe (Linealkante verläuft durch die Punkte und
) die Gleichheit
[31] gefunden werden kann.[32]
In der nebenstehenden Darstellung ist die Kantenlänge des Ausgangswürfels sowie
das – in einer externen Konstruktion bestimmte – geometrische Mittel von
und
. Sporus zeigt als Lösung die Verhältnisgleichung
es gilt auch
[32]
Sei , dann ist
,
und
. Eingesetzt in die Verhältnisgleichung
ergibt jeder dieser Quotienten den Wert für die Kantenlänge des verdoppelten Würfels.
Die in der Darstellung gepunkteten Linien sowie die Punkte und
sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Beweisführung.[33]
Grundkonstruktion nach Dürer
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-D%C3%BCrer.svg/440px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-D%C3%BCrer.svg.png)
Zunächst stellt man sich zwei exakt aufeinanderliegende Würfel mit gleicher Kantenlänge vor, z. B. mit . Auf ihrer gemeinsamen Mittelachse bestimmen sie somit die Punkte
und
. Der anschließende Halbkreis mit dem Radius
um
erzeugt den Durchmesser
, der mit der Mittelachse einen rechten Winkel bildet. Die nächste Linie wird ab Punkt
durch
gezogen, bis sie den Halbkreis in
schneidet. Die Grundkonstruktion ist somit fertiggestellt.
Nun ist die Aufgabe gestellt, mithilfe eines Lineals die Punkte und
so zu bestimmen, dass die Strecken
und
die gleiche Länge aufweisen.
Ermittlung der gleichen Strecken GH und HI
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-D%C3%BCrer-Animation.gif/440px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-D%C3%BCrer-Animation.gif)
Ermittlung der Strecken
- Dafür nimmt man ein schmales Lineal und bringt an einer Kante eine Strichskale mit gekennzeichneter Mitte an. Nun dreht und schiebt man das Lineal Schritt für Schritt vom Punkt
in Richtung Punkt
, dabei verläuft die Kante des Lineals stets durch den Punkt
und die Skalenmitte (roter Strich) bewegt sich auf der Mittelachse
. Das Ziel
ist erreicht, wenn beide Punkte
und
den gleichen Abstand zur Skalenmitte haben.
- Denkbar ist hierfür auch eine Vorgehensweise, bei der man ein unmarkiertes Lineal und einen Zirkel verwendet. Hierzu dreht man das Lineal wieder Schritt für Schritt vom Punkt
in Richtung Punkt
, dabei verläuft die Kante des Lineals stets durch den Punkt
. Nach jedem dieser Schritte werden die Schnittpunkte
und
markiert und danach ein Kontrollkreisbogen (strichlierte Linie) mit dem Radius
um
eingetragen. Das Ziel
ist erreicht, wenn beide Punkte
und
auf dem Kontrollkreisbogen liegen.
Fertigstellung der Konstruktion
BearbeitenWeiter geht es mit dem Ziehen des Viertelkreises um mit Radius
, bis er die Strecke
in
schneidet, sowie des weiteren Viertelkreises um
mit Radius
, bis er die Strecke
in
schneidet. Es folgt die Halbierung der Strecke
in
. Schließlich liefert der Halbkreis um
über
, mit Schnittpunkt
auf dem Radius
, die theoretisch exakte Kantenlänge
des verdoppelten Würfels.
Wegen ergibt sich darüber hinaus: Die Kantenlänge
ist auch die Quadratwurzel der Länge
(siehe Quadratwurzel, Konstruktion mit Zirkel und Lineal).
Beweis der Richtigkeit
BearbeitenWird angenommen, dass die Strecke wahr ist (siehe Berechnungsskizze), dann ist ein möglicher Beweis für
=
, wenn die Behauptung
=
wahr ist.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-D%C3%BCrer-Berechnungsskizze.svg/440px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-D%C3%BCrer-Berechnungsskizze.svg.png)
Verwendet werden hierzu die vier rechtwinkligen und – wegen ihrer gleichen Innenwinkel – zueinander ähnlichen Dreiecke ,
,
und
- Rechtwinkliges Dreieck
, darin ist
und
.
- Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
- (1)
.
- (1)
- Rechtwinkliges Dreieck
, wegen Ähnlichkeit der Dreiecke
gilt nach dem W:W:W-Satz
- (2)
, sowie
- (3)
.
- (2)
- Rechtwinkliges Dreieck
, darin ist
, wegen
gilt
- (4)
- (4)
- Rechtwinkliges Dreieck
, wegen
gilt
- (5)
,
- (5)
- wegen
gilt
- (6)
.
- (6)
- Nun bedarf es nur noch zweier Differenzen von Strecken
- (7)
.
- (8)
- (7)
- Daraus folgt
- (9)
.
- (9)
- Somit ist
, was zu beweisen war.
Ermittlung der zwei mittleren Proportionalen mithilfe eines mechanischen Werkzeugs
BearbeitenDie Verwendung der beiden im Folgenden beschriebenen mechanischen Werkzeuge liefert die sogenannten zwei mittleren Proportionalen und
des Hippokrates von Chios.[34] Sie werden für die Verdoppelung des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge
benötigt. Die mittlere Proportionale
entspricht der gesuchten Kantenlänge
des verdoppelten Würfels.
- Der Satz des Hippokrates von Chios ist im Abschnitt Konstruktion über spezielle Kurven beschrieben.
Platons mechanische Methode
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Platon-Animation.gif/460px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Platon-Animation.gif)
Wie in der Einleitung erwähnt, benennt Eutokios Platon als den Ersten, der die folgende Methode zur Lösung des Problems der Würfelverdoppelung anwandte. Zwar sprechen neuzeitliche Kommentatoren Platon dies wegen seiner vehementen Ablehnung mechanischer Hilfsmittel ab,[35] aber Lattmann beschreibt in seiner Studie Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid aus dem Jahr 2019 ausführlich, warum die Lösung zu Recht Platon zugeschrieben werden kann.[36]
„Konträr zur communis opinio steht fest, dass die Anekdote vom Delischen Problem weder insgesamt noch partiell fiktiv ist, sondern mit aller Wahrscheinlichkeit historisch korrekt ist. Auf dieser Grundlage kann in einem zweiten Schritt der in der Überlieferung Platon zugeschriebene Ansatz zum Delischen Problem als potentiell genuines, wenn auch indirekt überliefertes Platon-Zeugnis in den Blick genommen werden.“
Das mechanische Werkzeug (ohne eine Werkstoffangabe) besteht z. B. aus zwei U-förmigen Linealen. Damit das lose Lineal exakt parallel zu seinem Gegenüber verschiebbar ist, wird es in den beiden Seitenteilen entsprechend geführt.[25]Für eine gute Übersichtlichkeit ist das Werkzeug in der Aufsicht dargestellt. In der nebenstehenden Zeichnung wurden die originären teilweise griechischen Punktebezeichnungen verwendet.
Vorgehensweise
BearbeitenZuerst werden die beiden gegebenen Variablen und
senkrecht zueinander und mit Verlängerungen ab dem Punkt
gezeichnet.
Das Werkzeug wird nun auf folgende Art und Weise auf der Zeichnung bewegt (siehe Animation), bis die zwei mittleren Proportionalen und
gefunden sind:
Die Innenkante des Grundelements verläuft stets durch Punkt
und der Punkt
liegt stets auf der Verlängerung der Strecke
bevor der Punkt
des Lineals
auf die Verlängerung der Strecke
geschoben wird.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Platon.svg/200px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Platon.svg.png)
Nachweis
Als Ergebnis liefert das mechanische Werkzeug
und
Nachweis
BearbeitenWegen der Parallelität und vier rechter Winkel am Scheitel
haben die folgenden Dreiecke gleiche Winkel und sind daher zueinander ähnlich:[35]
Da der Scheitel einen rechten Winkel hat, sind folgende Winkel gleich:
Euklid, Elemente, 1, 32:[39]
Weil der Scheitel einen rechten Winkel hat, sind auch folgende Winkel gleich:
Nach Euklid, Elemente 6, 4 ergeben sich somit die Proportionen:[40]
Eratosthenes’ mechanische Methode
BearbeitenEratosthenes von Kyrene ersann (basierend auf dem Satz des Hippokrates) ein mechanisches Werkzeug, das er in dem Brief an König Ptolemaios beschrieb als eine:
„[…] mechanische Vorrichtung zur Bestimmung, mittels deren wir zwischen zwei gegebenen geraden Linien nicht nur zwei mittlere Proportionale finden werden, sondern soviele man zu finden anordnet.“[41]
Die mechanische Vorrichtung ist vorstellbar als ein Kasten, gefertigt aus Holz, Bronze oder Elfenbein, mit drei sehr dünnen Täfelchen in Form identischer rechtwinkliger Dreiecke, die mithilfe von Rillen nach rechts oder links verschoben werden können. Bei einer Aufgabe, in der zu zwei Variablen mehr als zwei mittlere Proportionale gesucht sind, ist die erforderliche Anzahl der Dreiecke stets um eins größer als die Anzahl der gesuchten mittleren Proportionalen.[42] Eratosthenes ließ seine Lösung der Würfelverdoppelung im Tempel der Ptolemäer in Alexandria in Stein meißeln.[43]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Eratosthenes-Animation.gif/550px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Eratosthenes-Animation.gif)
Animation am Ende 10 s Pause.
Die im nebenstehenden Diagramm abstrahiert dargestellte mechanische Vorrichtung – wie Eratosthenes sie nennt – zeigt zwei parallele Strahlen und
sie symbolisieren zwei Lineale. Zwischen den Linealen sind drei rechtwinklige Dreiecke, das erste ist fest am Punkt
die beiden anderen sind bis
verschiebbar geführt. Alternativ sind auch drei Rechtecke mit eingezeichneten Diagonalen möglich. Die hochkant gezeichneten Dreiecke haben als Höhe die Variable
und eine kleine Kathete mit frei wählbarer Länge (im Diagramm
). Auf der zu
senkrecht stehenden Strecke
, im Punkt
des dritten Dreiecks, ist die Länge der zweiten Variablen
als Strecke
abgetragen.[44] Ein (nicht eingezeichneter) Strahl ab Punkt
durch
schneidet in
die Linie
, erzeugt die Strecke
und lässt somit die Grundidee der Vorrichtung, nämlich den Strahlensatz, erkennen.
Vorgehensweise
BearbeitenNur wenige Schritte sind erforderlich, wenn z. B. das zweite Dreieck (blau) und das dritte Dreieck (gelb) auf folgende Art und Weise zwischen den Linealen bewegt werden, bis die zwei mittleren Proportionalen und
gefunden sind (siehe Animation):
Stets zuerst das zweite Dreieck (blau) so in Richtung Punkt verschieben, dass sich dessen Hypotenuse
, die Strecke
(rot) und die Senkrechte
im Punkt
schneiden. Erst im nächsten Schritt das dritte Dreieck (gelb) so nachschieben, dass sich dessen Hypotenuse
, die Strecke
(rot) und die Senkrechte
im Punkt
schneiden. Wiederholungen dieser Schritte liefern die zwei mittleren Proportionalen
und
Nachweis
BearbeitenWenn sich die beiden Strahlen durch bzw. durch
in
schneiden, dann ist
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Eratosthenes-Nachweis.svg/550px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Eratosthenes-Nachweis.svg.png)
und
,
während
deshalb
Ähnlich
Damit sind und
in kontinuierlicher Proportion sowie
und
die zwei mittleren Proportionalen.
Konstruktion mittels spezieller Kurven
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/01-W%C3%BCrfelverdoppelung-2.svg/271px-01-W%C3%BCrfelverdoppelung-2.svg.png)
Soll ein Würfel mit der Kantenlänge bezüglich seines Volumens
mit
als Kantenlänge des größeren Würfels verdoppelt werden, so gilt zur Bestimmung der zwei mittleren Proportionalen
und
der Satz des Hippokrates von Chios:[34]
Eliminiert man , so ergibt sich:
daraus folgt:[34]
- (1)
Eliminiert man , so ergibt sich:
daraus folgt:
- (2)
Aus Gründen des besonderen Schwierigkeitsgrades – Dreidimensionalität, erste Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. – wird im Folgenden die Lösung des Problems mithilfe der Kurve des Archytas ausführlich beschrieben.
Kurve des Archytas
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Archytas-Bausteine.png/400px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Archytas-Bausteine.png)
Gekennzeichnet ist dies durch den Kreuzungspunkt
Ein paar Jahrzehnte früher als Archytas gelang Hippokrates von Chios die Verdoppelung des Würfels, indem er sie auf ein Problem der Konstruktion von Verhältnissen zurückführte.[9] Archytas von Tarent gelang deren theoretische Konstruktion mit einer nach ihm benannten speziellen Kurve. Für deren Visualisierung bzw. Anwendung bedarf es folgender drei Figuren[45] (siehe nebenstehendes Diagramm):
- Halbzylinder, steht auf einem Halbkreis
mit Radius
und Durchmesser
Die Höhe des Halbzylinders beträgt ca.
- Achtel eines sogenannten Horntorus[46], quasi ein Torus ohne „Loch“ mit Radius
.
- Kegelausschnitt
, entnommen vom Kegel mit Radius
und Höhe
, mit dem Dreieck
als dessen Schnittfläche. Der Kegelausschnitt erreicht seine maximale Größe, nämlich ein Viertel des Gesamtkegels, wenn das Dreieck
mit dem Dreieck
einen Winkel von
einschließt und damit auf der rechteckigen Fläche des Halbzylinders liegt.
Die Kurve des Archytas ist eine sogenannte Schnittkurve, die entsteht, wenn ein Halbzylinder ein Achtel eines Horntorus durchdringt. Wie im Diagramm erkennbar, durchdringt das Viertel des Kegels die beiden benachbarten Figuren und erzeugt dadurch eine, mit der Kurve des Archytas kreuzende, zweite Schnittkurve.
Die zwei mittleren Proportionalen sind dann gefunden, wenn die Hypotenuse der dreieckigen (blauen) Schnittfläche des Kegels die Kurve des Archytas im (grünen) Punkt
schneidet. Der Punkt
liegt auf der Mantelfläche des Halbzylinders (auf der Kurve des Archytas), auf der dreieckigen Schnittfläche des Kegelausschnitts und auf der halbkreisförmigen Schnittfläche des Horntorus.
Geometrische Vorüberlegung
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Kurve-Archytas.png/200px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Kurve-Archytas.png)
Das nebenstehende Bild sowie das dazu ähnliche Bild im folgenden Abschnitt zeigen den geometrischen Ansatz, den Archytas nutzte, um damit die von ihm gefundene Kurve mithilfe von zwei mittleren Proportionalen zu beschreiben.[47] Die Figur besteht u. a. aus zwei rechtwinkligen, zueinander ähnlichen Dreiecken und
mit je einem Thaleskreis. Der zur Grundfläche des Halbzylinders senkrecht stehende und um Punkt
drehbare Halbkreis – mit den zwei mittleren Proportionalen
und
– hat den Durchmesser
der Durchmesser des Halbzylinders (s. Bild Kurve des Archytas) ist
Mit eingesetzten Werten aus (1) und (2) gilt nach Hippokrates von Chios:
- (3)
- (4)
Es gelten die folgende Streckenverhältnisse:
- (5)
- (6)
Konstruktion der Kantenlänge des verdoppelten Würfels
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Archytas-Animation.gif/460px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Archytas-Animation.gif)
Der Halbkreis über
Zwecks Übersichtlichkeit ist der Horntorus im Abschnitt Kurve des Archytas dargestellt. Animation, dazwischen 5 s und am Ende 25 s Pause.
Für eine zeichnerische Darstellung – wie im nebenstehenden Bild – verwendet man eine sogenannte Dynamische Geometrie Software (DGS).[45]
Es beginnt mit dem Zeichnen des Einheitskreises mit Durchmesser . Der anschließende Radius
um
schneidet den Kreis in
Es folgen eine Tangente durch
und die Verlängerung der Strecke
beide schneiden sich im Punkt
Eine Parallele zu
ab
schneidet den Durchmesser
in
und den Kreis in
Als Nächstes wird ein kurzer Kreisbogen um mit dem Radius
gezogen und darauf der Punkt
mit frei wählbarer Position festgelegt. Nach dem Verbinden des Punktes
mit
ergibt dies die Schnittpunkte
auf
sowie
auf dem Halbkreis
. Es folgen ein Halbkreis über
und eine Senkrechte auf
in
, sie ergeben den Schnittpunkt
auf dem Halbkreis über
. Der nächste Halbkreis über
und eine Senkrechte auf
in
ergeben den Schnittpunkt
auf dem Halbkreis – entspricht der Schnittfläche (blau) eines halben Kegels – über
Das Errichten des Halbzylinders (Höhe ca. 2,5) über dem Halbkreis
schließt sich an.
Es geht weiter mit dem Ziehen eines Kreisbogens um den Punkt mit dem Radius
; er schneidet in
die Verlängerung der Kante des Halbzylinders, die zu
führt. Nun wird der Punkt
mit
verbunden. Eine Linie von
durch den Punkt
bis zum Kreisbogen
gezogen ergibt den Schnittpunkt
Die Verbindung
mit
erzeugt das mit dem Dreieck
kongruente Dreieck
Dies ist möglich, da der Halbkreis über
und der Viertelkreis
zueinander parallel sind. Betrachtet man im Kontext die beiden ebenfalls kongruenten Dreiecke
und
sowie den Kreisbogen
um
so ist das Viertel eines Kegels mit dessen Höhe
zu erkennen. Nach dem Verbinden der Punkte
mit
sowie
mit
ergeben sich schließlich die beiden maßgeblichen rechtwinkligen Dreiecke
und
Der Halbkreis über – die Schnittfläche eines nicht eingezeichneten Horntorus – soll nun um den Punkt
so weit gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, bis die Hypotenuse
des ebenfalls, aber im Uhrzeigersinn, gedrehten Dreiecks
– Schnittfläche des Kegelausschnitts
– den Halbkreis über
in
schneidet. Es ist zu beachten, dass die Strecken
und
senkrecht aufeinander stehen. Nach dem Höhensatz von Euklid ergibt sich damit
Es folgt aus , dass der Winkel
in dieser Stellung gleich
ist. Die vier Dreiecke
,
und
sowie
sind daher zueinander ähnlich. Die so einregulierte Strecke
entspricht der gesuchten Kantenlänge
des verdoppelten Würfels, siehe oben.
Der Punkt im Dreieck
bestimmt während der Drehung des Halbkreises über
die (rote) Kurve des Archytas auf der Mantelfläche des Halbzylinders.
- Für einen exakten Haltepunkt (Punkt
trifft auf die Hypotenuse
des Dreiecks
) der animierten Drehung des Halbkreises über
wird die Strecke
mithilfe der DGS[48] bestimmt.
Parabel nach Menaichmos
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/01-W%C3%BCrfelverdoppelung-Menaichmos.svg/330px-01-W%C3%BCrfelverdoppelung-Menaichmos.svg.png)
somit gilt auch
sowie
Menaichmos löste das Problem bezüglich Konstruktion der zwei erforderlichen mittleren Proportionen als Schnitt zweier Kegelschnitte (basierend auf Hippokrates’ Umformung des Problems).[49]
Dazu schreibt Johann Christoph Sturm:
(typographisch normalisiert)
„Auflösung.
So nun gegeben sind zwey gerade Lineen AB und BC, zwischen welchen zwey mittlere
gleichverhaltende sollen gefunden werden/ so setze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/
und verlängere sie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beschreibe so dann/ nach Erforderung
der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (also nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem
Umbkreiß auf BE senkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich sey dem Recht-
ekk aus BC und bem [dem][50] Teihl der Mittel-Lini zwischen B und der vorigen senkrechten (hier BE)
Besihe unten die Anmerkung. Wiederumb beschreibe/ voriger massen/ umb BD, nach
Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem sie einander
durchschneiden/ ziehe die senkrechte Lineen FD und FE, so werden BE und BD die begehrte
zwey mittlere gleichverhaltende seyn.“
Zissoide des Diokles
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Zissoide_v._Diokles-Animation.gif/240px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Zissoide_v._Diokles-Animation.gif)
Diokles löste das Problem der beiden mittleren Proportionalen mit der nach ihm benannten Kurve, auch bekannt als Kissoide des Diokles.
Bezeichnet man die beiden Proportionalen mit und
so ergibt sich als zu lösendes Konstruktionsproblem „die doppelte Proportion zwischen a und 2a“.[15]
Darin ist die gesuchte Seitenlänge (im Bild 2 mit
bezeichnet), es gilt
Vorüberlegung
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Zissoide_v._Diokles.svg/240px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Zissoide_v._Diokles.svg.png)
Die kartesischen Koordinaten der Zissoide sind z. B.
Die Konstruktion wird vereinfacht, wenn der Wert des Faktors in den kartesischen Koordinaten der Zissoide gleich dem der Kantenlänge
des Ausgangswürfels ist. Es wird nur der Teil des Graphen der Zissoide benötigt, der im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegt.
Vorgehensweise
BearbeitenEs sei der Koordinatenursprung,
der Mittelpunkt des Halbkreises mit beliebigem Radius
und
der Durchmesser.
Um einen Punkt auf der Zissoide zu bestimmen (siehe Bild 1), bedarf es der zwei Parallelen und
. Sie stehen senkrecht auf dem Durchmesser
und haben aufgrund des Halbkreises die gleiche Länge sowie den gleichen Abstand zum Mittelpunkt
. Wird die Parallele
bewegt, so liefert die Halbgerade ab
mithilfe des Punktes
– entweder direkt auf der Parallelen
oder auf deren Verlängerung – den auf der Zissoide liegenden Punkt
.
Eine kontinuierliche Veränderung des Abstandes der beiden Parallelen und
zueinander erzeugt, wegen des dadurch bewegten Punktes
, im Koordinatenursprung
den Graphen der Zissoide im 1. Quadranten.
Es geht weiter (siehe Bild 2) mit der auf dem Durchmesser senkrecht stehenden Strecke
mit der Länge gleich
Die Verbindung des Punktes
mit
schneidet den Graphen der Zissoide in
Die abschließende Verbindung des Punktes
mit
liefert mit
die gesuchte Seite
des verdoppelten Würfels.
Die parallel zu strichliert eingezeichnete Strecke
dient lediglich der Beweisführung.[15]
Parabel nach J. Bolyai
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-1_Parabel.svg/240px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-1_Parabel.svg.png)
Johann Bolyai machte während seiner Studienzeit Aufzeichnungen über die Winkeldreiteilung (1898 von Paul Stäckel gefunden) und wie erst später entdeckt, auch zur Würfelverdoppelung. Sein Hauptaugenmerk lag insbesondere auf das n-malige Vervielfachen des Volumens eines Ausgangswürfels. Er generierte dazu Lösungen mithilfe einer Hyperbel, zweier Parabeln sowie mit einer von ihm entwickelten Zissoide. Dabei fand er auch eine offensichtlich sehr einfache Lösung zur Verdoppelung, die mit einer einzigen Parabel, wie im Folgenden beschrieben, auskommt.[53]
Die Aufzeichnungen darüber veröffentlichte Róbert Oláh-Gál im Jahr 2007 in einem Aufsatz. Er weist darauf hin, dass die von Bolyai verwendeten Bezeichnungen auf den heutigen Gebrauch umgeschrieben, und wo es nötig war, ergänzt wurden.[53]
Vorgehensweise
In einem kartesischen Koordinatensystem wird zuerst auf die x-Achse, ab dem Koordinatenursprung die Seitenlänge
des Ausgangswürfels zweimal abgetragen; dabei ergeben sich die Strecken
und
. Nach der Halbierung der Strecke
in
folgt das Errichten der senkrechten Strecke
auf
. Der Kreis um
durch die Punkte
und
schließt sich an. Abschließend wird die Parabel
generiert; dabei ergibt sich der Schnittpunkt
, und das Lot auf
mit dem Fußpunkt
gefällt. Die so gefundene Strecke
ist die Seitenlänge des verdoppelten Würfels.
Die gepunkteten Linien sowie die Punkte und
sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich für den Beweis nach Oláh-Gál.[54]
Würfelverdoppelung mit Origami
BearbeitenDie Verdoppelung des Würfels kann auch – so wie die Dreiteilung des Winkels – mit dem zusätzlichen Hilfsmittel Origami konstruiert werden. Verwendet wird hierfür ein quadratisches oder rechteckiges Blatt Papier.[55]
Beim fertigen Origami ist zu berücksichtigen, dass das Ergebnis der Faltungen nicht die Kantenlänge eines vorgegebenen Ausgangswürfels berücksichtigt. Das Ergebnis zeigt eine Strecke, die im Verhältnis
geteilt ist und deren Längenwerte unbekannt sind. Erst die anschließende sogenannte zentrische Streckung mit der vorgegebenen Kantenlänge
des Ausgangswürfels als Basis, liefert die gesuchte Kantenlänge
des verdoppelten Würfels.
Vorgehensweise
BearbeitenUm drei gleiche Teile der Blatthöhe als Faltlinien zu erhalten, wird zuerst das Blatt in der Mitte gefaltet (siehe Bild 1); dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten
und
die Punkte
bzw.
. Es folgen die diagonale Falte
und die Falte
sie schneiden sich im Punkt
Die nächste Falte durch den Punkt
und parallel zur Blattkante
bestimmt das erste Drittel der Blatthöhe; dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten
und
die Punkte
bzw.
. Für das zweite und dritte Drittel der Blatthöhe legt man die Blattkante
auf die Falte
dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten
und
die Punkte
bzw.
.
Als Nächstes wird die Falte so gelegt (siehe Bild 2), dass die Ecke
des Blattes auf der Kante
und der Punkt
auf der Falte
zum Liegen kommt. Somit teilt
die Strecke
im Verhältnis
Für das Bestimmen der Kantenlänge (siehe Bild 3) bedarf es – wie oben begründet – der Übertragung der Strecke
inklusive des Teilungspunktes
als Orthogonale (Senkrechte) auf einer Geraden
, einer ebenfalls senkrecht zu
angeordneten Kantenlänge
des Ausgangswürfels sowie des Punktes
auf
Es folgt ein Strahl ab dem Punkt
durch
bis er die Maßhilfslinie der Kantenlänge
in
schneidet. Anschließend wird im Punkt
eine Senkrechte auf die Maßhilfslinie errichtet. Der abschließende zweite Strahl ab
durch
liefert die Strecke
mit der Länge
als die gesuchte Kantenlänge des verdoppelten Würfels.
- Bild 1
Blatthöhe in drei gleich Teile falten - Bild 2
- Bild 3
Konstruktion der Kantenlängedes verdoppelten Würfels mithilfe der vorgegebenen Kantenlänge
des Ausgangswürfels
Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel aus 2
BearbeitenAus oben bereits beschriebenen Gründen kann das Ergebnis der Kubikwurzel nicht mit Zirkel und Lineal mit endlichen Konstruktionsschritten exakt dargestellt werden.
Einen Weg für sehr gute Näherungen ermöglicht das Newtonverfahren.[56] Im Folgenden wird es verwendet, um für die Würfelverdoppelung die reelle Nullstelle der Funktion
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Funktion.svg/290px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Funktion.svg.png)
als Näherung mit wenigen Iterationsschritten zu erreichen.
Als Startwert kann genommen werden. Die Iterationsschritte des Algorithmus sind durch
definiert.
Weil der Ausdruck für nur die Grundrechenarten enthält, lässt sich das Ergebnis jedes Iterationsschritts als Strecke mit Zirkel und Lineal konstruieren.
Berechnung der Iterationsschritte
BearbeitenIn der Formel
liefert der Term auf der rechten Seite der Gleichung das Ergebnis des -ten Iterationsschrittes. Ein Iterationsschritt setzt sich aus sechs algebraische Operationen zusammen, von denen stets die Fünfte der Zähler und die Zweite der Nenner eines unechten Bruchs sind.
1. Iterationsschritt , fünf Operationen haben
z. B.
eingesetzter Wert für
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newtonverfahren.svg/400px-01_W%C3%BCrfelverdoppelung-Newtonverfahren.svg.png)
Der nicht eingezeichnete 2. Iterationsschritt mit
2. Iterationsschritt , fünf Operationen haben
z. B.
eingesetzter Wert für
3. Iterationsschritt , fünf Operationen haben
z. B.
eingesetzter Wert für
Dieser Ablauf lässt sich beliebig oft wiederholen. Es liegt quadratische Konvergenzgeschwindigkeit vor, was das Verfahren vergleichsweise effizient macht.
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
BearbeitenBereits nach zwei Iterationsschritten ist die Effizienz der Anwendung des Newtonverfahrens gut erkennbar, der bis dahin erreichte Näherungswert ist Es folgt nun eine konstruktive Weiterführung bis zum Erreichen des 3. Iterationsschritts mit dem Näherungswert
.
Zuerst wird der unechte Bruch umformuliert in den (unechten) Dezimalbruch
und anschließend als exakte Länge
auf einer Zahlengerade (Bild 1) abgebildet. Dazu eignet sich z. B. die Methode Konstruktion einer Dezimalzahl mithilfe des 3. Strahlensatzes. Wegen der Größenverhältnisse ist es von Vorteil, dies in einem eigenen Bild zu zeigen.
Im nächsten Schritt wird die Länge (rot) aus Bild 1 in das Bild 2 (grün, Ziffer 2) übertragen. Es folgt das Bestimmen der Quadratzahl (Ziffer 3) und der Kubikzahl (Ziffer 4) von
Im fünften Schritt wird die Kubikzahl von
mit dem Faktor
multipliziert und die Zahl
addiert. Abschließend (Ziffer 6) wird der Quotient
(rot) ermittelt:
Beispiel, um den Fehler zu verdeutlichen
Bei einem Ausgangswürfel mit der Kantenlänge m wäre die Kante des nur näherungsweise verdoppelten Würfels ca.
mm zu lang.
- Nur einen Iterationsschritt mehr, sprich mit den Operationen 7–11 in einem Bild 3, würde man bereits den sehr genauen Wert
(vergleiche Sollwert) erhalten.[57]
- Damit wäre bei einem Ausgangswürfel mit der Kantenlänge
km die Kante des nur näherungsweise verdoppelten Würfels ca.
mm zu lang.[58]
Literatur
Bearbeiten- Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. Abteilung B, Band 3, 1936, S. 287–369 (harvard.edu [PDF; 8,8 MB]).
- Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 177–270 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Markus Asper: Mathematik. Die griechische Mathematik bis zum Ende des Hellenismus. In: Bernhard Zimmermann, Antonios Rengakos (Hrsg.): Handbuch der griechischen Literatur der Antike. Band 2: Die Literatur der klassischen und hellenistischen Zeit (= Handbuch der Altertumswissenschaft. Band 7,2). C.H.Beck, München 2014, S. 459–481 (Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. In: Historia Mathematica. 36, 2009, S. 374–394, doi:10.1016/j.hm.2009.03.001.
- Walter Breidenbach: Das Delische Problem (Die Verdoppelung des Würfels), 1952, DEUTSCHE DIGITALE BIBLIOTHEK
- Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: A pretty accurate solution to the Delian problem. In: Parabola Volume 59 (2023) Issue 1, online magazine (ISSN 1446-9723) published by the School of Mathematics and Statistics University of New South Wales
Weblinks
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/15px-Wikisource-logo.svg.png)
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 270–306 (pyrkov-professor.ru [PDF]).
- ↑ Zur Echtheit des bei Eutokios überlieferten Brieftextes W. R. Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Boston 1986, S. 17–24. Zur Frage, welcher König Ptolemaios gemeint ist, siehe etwa W. R. Knorr: Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry. Boston 1989, S. 144 f.
- ↑ a b c Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294 (pyrkov-professor.ru [PDF]).
- ↑ Richard Kannicht, Bruno Snell: Tragicorum Graecorum Fragmenta. 2. Auflage. Band 2. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2007, S. 62, Fragment Adespota F 166; zur Behandlung des Glaukos-Stoffes bei den Tragödiendichtern siehe Georg Weicker: Glaukos 23. In: Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (RE). Band VII,1, Stuttgart 1910, Sp. 1415 f.
- ↑ Eine ausführliche Analyse des antiken Quellenmaterials zur Delier-Anekdote und den möglichen historischen Grundlagen bietet Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). De Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 187–206; zu den drei mechanischen Ansätzen und Platons Kritik ebd., S. 220–241.
- ↑ Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 273, Anmerkung 17 (pyrkov-professor.ru [PDF]).
- ↑ Zum Beispiel Joseph: The crest of the peacock. Princeton UP, 2001, S. 330.
- ↑ Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. In: Lisa Hefendehl-Hebeker, Stephan Hußmann (Hrsg.): Mathematikdidaktik zwischen Fachorientierung und Empirie. Festschrift für Norbert Knoche. Franzbecker, Hildesheim/Berlin 2003, ISBN 3-88120-364-8, S. 74 (uni-sb.de [PDF; 1,6 MB; abgerufen am 25. Juli 2022]).
- ↑ a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. In: Lisa Hefendehl-Hebeker, Stephan Hußmann (Hrsg.): Mathematikdidaktik zwischen Fachorientierung und Empirie. Festschrift für Norbert Knoche. Franzbecker, Hildesheim/Berlin 2003, ISBN 3-88120-364-8, S. 78 (uni-sb.de [PDF; 1,6 MB; abgerufen am 25. Juli 2022]).
- ↑ Horst Hischer: 5.1 Lösungswerkzeug: Holzrahmen-Apparat (vermutlich von Eratosthenes). Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Hrsg.: Universität des Saarlandes. Saarbrücken 2015, S. 5 (uni-sb.de [PDF; abgerufen am 25. Juli 2022]).
- ↑ François Lasserre (Hrsg.): Die Fragmente des Eudoxos von Knidos. Berlin 1966, S. 20–22, 163–166.
- ↑ Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Hrsg.: Universität des Saarlandes. Saarbrücken 2015, S. 9 (uni-sb.de [PDF; abgerufen am 25. Juli 2022]).
- ↑ Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 295 (pyrkov-professor.ru [PDF]).
- ↑ Horst Hischer: 5.2 Lösungswerkzeug: das Mesolabium des Eratosthenes. Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Hrsg.: Universität des Saarlandes. Saarbrücken 2015, S. 7 (uni-sb.de [PDF; abgerufen am 25. Juli 2022]).
- ↑ a b c d Pascal Praß, Adrian De Lont: Würfelverdoppelung mit der Kissoiden. (PDF) Allgemeine Kissoiden, Seminar über höhere Kurven. Universität Mainz, 2016, S. 12, abgerufen am 5. Juli 2021.
- ↑ A. D. Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Band B 3, 1936, S. 287–369 (auch speziell zum Problem der Würfelverdopplung).
- ↑ Pierre Wantzel: Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas (= Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal). Band 2). 1837, S. 366–372 (bnf.fr [PDF]).
- ↑ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant: Biographie. Wantzel. In: Nouvelles Annales de Mathématiques. Série 1. Band 7, 1848, ZDB-ID 426713-8, S. 321–331, S. 329: Publikationen im Journal des mathématiques pures (französisch, numdam.org [PDF; 780 kB; abgerufen am 10. April 2021]).
- ↑ Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 378–379, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
- ↑ Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 379, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
- ↑ Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 391, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
- ↑ Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 387, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
- ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 405.
- ↑ Falko Lorenz: Algebra Volume I: Fields and Galois Theory, Springer, S. 6–13.
- ↑ a b Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 213 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Klaus Volkert: Geschichte der geometrischen Konstruktionsprobleme I. (PDF; 1,5 MB) In: Vorlesung, Universität zu Köln im WS 06/07; […] Siebeneck. Universität Wuppertal, 2006, S. 20, abgerufen am 15. September 2018.
- ↑ Heinrich Dörrie: 35. The Delian Cube-doubling Problem. In: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York, Dover Publications, Inc., 1965, S. 170–171, abgerufen am 5. Mai 2019.
- ↑ Isaac Newton, Übersetzer Ralphson: Universal Arithmetick: Or, A Treatise of Arithmetical Composition and Resolution. In: Appentix. The Linear Construction of Equations . 1728, S. 242 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) Letzter Absatz, Tab: VII, Fig. 99, abgerufen am 24. März 2022.
- ↑ David M. Burton: The History of Mathematics. Three Construction Problems of Antiquity. 7. Auflage. New York 2011, ISBN 978-0-07-338315-6, 3.4 Problems, S. 129 (englisch, illinois.edu [PDF; abgerufen am 2. April 2024]).
- ↑ Albrecht Dürer: Underweysung der messung mit dem zirckel un[d] richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen. SLUB, Digitale Sammlungen, 1525, S. 157–158, abgerufen am 24. Mai 2022.
- ↑ Für eine bessere Vergleichbarkeit sind Schriftform und Bezeichnungen aus der Quelle übernommen.
- ↑ a b Bodo v. Pape: Von Eudoxus zu Uhlhorn: Die Lösungen zu den Großen Problemen der Antike. BoD–Books on Demand, 22. Juli 2019, S. 91–92 (6.7 Die Lösung „Sporus“ [PDF; abgerufen am 12. Juli 2023]).
- ↑ Bodo v. Pape: Von Eudoxus zu Uhlhorn: Die Lösungen zu den Großen Problemen der Antike. BoD–Books on Demand, 22. Juli 2019, S. 91 (6.7 Die Lösung „Sporus“ [PDF; abgerufen am 12. Juli 2023]).
- ↑ a b c Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität des Saarlandes, 2003, S. 76, abgerufen am 30. Oktober 2020.
- ↑ a b Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 215 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.23 Die archäologische und historische Perspektive (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 199–212 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid, 5 Platon und das Delische Problem, 5.2.4 Fazit. Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 207, letzter Absatz (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
- ↑ Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 1, Proposition 29. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 17 (opera-platonis.de [PDF; 469 kB; abgerufen am 12. April 2021]).
- ↑ Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 1, Proposition 32. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 19 (opera-platonis.de [PDF; 469 kB]).
- ↑ Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 6, Proposition 4. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 4 (opera-platonis.de [PDF; 529 kB; abgerufen am 11. April 2021]).
- ↑ Übersetzung nach Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 182 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294–298 (pyrkov-professor.ru [PDF]).
- ↑ Bartel Leendert van der Waerden: Science Awakening. 1956, 230 f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Lineals verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.
- ↑ a b Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. The Duplication Of The Cube, (ζ) Eratosthenes. Band 1. The Clarendon Press, Oxford 1921, S. 259 (englisch, Scan – Internet Archive).
- ↑ a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität des Saarlandes, 2003, S. 79 ff., abgerufen am 1. November 2020.
- ↑ Weisstein, Eric W.: Horn Torus. WolframMathWorld, abgerufen am 30. Mai 2022.
- ↑ Rudolf Stopfer: Die Verdoppelung des Würfels, 5. Lösung nach Archytas. Seminar: Klassische Probleme der Antike. Universität Bayreuth, 8. Juni 1997, archiviert vom (nicht mehr online verfügbar) am 27. Februar 2016; abgerufen am 8. März 2022.
- ↑ Didaktik der Mathematik, Dynamische Geometriesoftware. Universität Würzburg, abgerufen am 4. August 2021.
- ↑ Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. (PDF; 1,2 MB) Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Universität Saarland, 2015, S. 9–10, abgerufen am 1. Mai 2019 (Preprint Nr. 367).
- ↑ Emendation ergibt sich aus dem Satzzusammenhang.
- ↑ Johann Christoph Sturm: Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg … [Der zweyte kunstrichtige oder Geometrische Weg …] In: Des Unvergleichlichen ARCHJMEDJS Kunſt-Bücher. [Des Unvergleichlichen ARCHIMEDIS Kunst-Bücher.] Nürnberg 1670. DTA Deutsches Textarchiv, S. 118 ff., hier S. 119, urn:nbn:de:kobv:b4-20590-8 (Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv, abgerufen am 2. November 2020).
- ↑ Pascal Praß, Adrian De Lont: Würfelverdoppelung mit der Kissoiden. (PDF) Allgemeine Kissoiden, Seminar über höhere Kurven. Universität Mainz, 2016, S. 9, abgerufen am 5. Juli 2021.
- ↑ a b Róbert Oláh-Gál: Die aus der Studienzeit stammenden Aufzeichnungen des Johann Bolyai über die Würfelverdoppelung. (PDF) researchgate.net, 16. Februar 2007, S. 3, abgerufen am 12. Januar 2022.
- ↑ Róbert Oláh-Gál: Die aus der Studienzeit stammenden Aufzeichnungen des Johann Bolyai über die Würfelverdoppelung. (PDF) researchgate.net, 16. Februar 2007, S. 7, abgerufen am 12. Januar 2022.
- ↑ Michael Strobl: Lösungen von Konstruktionsproblemen durch Origami. (PDF) In: Konstruktion mit Zirkel und Lineal vs. Origami. Universität Innsbruck, 2018, S. 56–60, abgerufen am 4. November 2021.
- ↑ Daniel Mathews, Sue Finch u. a.: Newton's method. In: AMSI. 2. August 2019, abgerufen am 16. Mai 2022 (englisch).
- ↑ 4. Iterationsschritt auf wolframalpha.com.
- ↑ Absoluter Fehler von
auf wolframalpha.com.