Zusammenhängender Raum
In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben. Im Allgemeinen heißt ein topologischer Raum zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Ein Teilraum eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend, wenn er unter der induzierten Topologie zusammenhängend ist.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Connected_and_disconnected_spaces.svg/220px-Connected_and_disconnected_spaces.svg.png)
Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Zusammenhangskomponente.
Formale Definition
BearbeitenFür einen topologischen Raum sind folgende Aussagen äquivalent:
ist zusammenhängend.
kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden:
kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen zerlegt werden:
und
sind die beiden einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind.
- Die einzigen Mengen mit leerem Rand sind
und
.
kann nicht als Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen geschrieben werden.
- Jede stetige Abbildung von
in einen diskreten topologischen Raum ist konstant.
- Jede lokal konstante Funktion von
in eine beliebige Menge ist konstant.
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes nennt man zusammenhängend, wenn sie in der Teilraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist (siehe anschließendes Beispiel).
Manche Autoren betrachten den leeren topologischen Raum nicht als zusammenhängend (obwohl er die acht äquivalenten Bedingungen erfüllt). Dies hat gewisse Vorteile, zum Beispiel ist ein Raum mit dieser Definition genau dann zusammenhängend, wenn er genau eine Zusammenhangskomponente besitzt.
Beispiel
BearbeitenSei . In Worten ist
also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich mit der von
induzierten Topologie (Teilraumtopologie, Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in
offenen Mengen gerade die Mengen von der Form
sind, wobei
eine in
offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in
offen, wenn sie sich als Schnitt einer in
offenen Menge mit
schreiben lässt.
Das Intervall ist in
offen. Also ist der Schnitt von
mit
in
offen. Dies ergibt gerade
. Also ist die Menge
in
offen, obwohl
natürlich nicht in
offen ist.
Ebenso ist das Intervall in
offen. Also ist der Schnitt von
mit unserem Raum
in
offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge
. Also ist
eine offene Teilmenge des Raumes
.
Damit kann man den Raum als disjunkte Vereinigung von zwei in
offenen Teilmengen schreiben, die beide nicht leer sind. Also ist
nicht zusammenhängend.
Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen:Das Intervall ist in
abgeschlossen. Also ist
in
abgeschlossen. Dieser Schnitt ist die Menge
, also ist
in
abgeschlossen, obwohl
nicht in
abgeschlossen ist.
Da wie oben erläutert in
auch offen ist, existiert mit
eine Teilmenge von
, die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in
) ist, aber nicht leer ist und auch nicht ganz
. Also kann
nicht zusammenhängend sein.
Zusammenhangskomponente
BearbeitenIn einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Teilräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Teilräumen, denen dieser Punkt zugehört.[1][2][3][4][5]
Besonderheiten
BearbeitenBesonderheiten zusammenhängender Teilräume des reellen Koordinatenraums
BearbeitenIm reellen Koordinatenraum haben zusammenhängende Teilräume mehrere Besonderheiten. Hervorzuheben sind vor allem zwei davon.
Zusammenhängende Teilräume der reellen Zahlen
BearbeitenHier handelt es sich um die reellen Intervalle. Es gilt nämlich:[6][7]
- Die zusammenhängenden Teilräume von
sind die reellen Intervalle jeden Typs. Es handelt sich im Einzelnen also um die der leere Menge
, die einpunktigen Teilmengen sowie um alle offenen, halboffenen, abgeschlossenen, beschränkten und unbeschränkten Intervalle mit mindestens zwei Punkten,
selbst eingeschlossen.
- Es lässt sich nämlich zeigen, dass ein Teilraum
dann und nur dann zusammenhängend ist, wenn für je zwei Punkte
auch
gilt.
Gebiete
BearbeitenHinsichtlich der zusammenhängenden Teilräume des ist vor allem die folgende Besonderheit bemerkenswert:[8][9]
- Eine nichtleere offene Menge bildet genau dann einen zusammenhängenden Teilraum (und damit ein Gebiet), wenn sie wegzusammenhängend (s. u.) ist.[10]
- Dabei gilt sogar schärfer, dass sich in einem solchen Gebiet je zwei Punkte stets durch einen ganz in diesem Gebiet liegenden Streckenzug verbinden lassen.
Besonderheit kompakter metrischer Räume
BearbeitenDiese Besonderheit besteht in folgender Eigenschaft:[11][12]
- Ist ein metrischer Raum
kompakt, so ist er genau dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte
für jedes
-verkettet in dem Sinne, dass endlich viele Punkte
existieren mit
und
sowie
.
Globale Zusammenhangsbegriffe
BearbeitenDie folgenden Begriffe beziehen sich immer auf den ganzen Raum, sind also globale Eigenschaften:
Total unzusammenhängend
BearbeitenEin Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt,wenn also alle Zusammenhangskomponenten einpunktig sind.Jeder diskrete topologische Raum ist total unzusammenhängend.In diesem Fall sind die (einpunktigen) Zusammenhangskomponenten offen.Ein Beispiel für einen nicht diskreten total unzusammenhängenden Raumist die Menge der rationalen Zahlen mit der von
induzierten Topologie.
Wegzusammenhängend
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Path-connected_space.svg/220px-Path-connected_space.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/0/07/Sinuseinsdurchx.png/220px-Sinuseinsdurchx.png)
Ein topologischer Raum ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise zusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten
,
aus
einen Weg
von
nach
gibt, d. h. eine stetige Abbildung
mit
und
.
Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von
mit einem Abschnitt der -Achse zwischen −1 und 1, mit der von
induzierten Topologie. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen liegt, kann man die
-Achse nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen zu einem Punkt auf der
-Achse, also ist diese Vereinigung nicht wegzusammenhängend.
Eine maximale wegzusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Wegzusammenhangskomponente.
Einfach zusammenhängend
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Connected_and_disconnected_spaces_cd.svg/220px-Connected_and_disconnected_spaces_cd.svg.png)
Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d. h. nullhomotop ist. Die zweite Bedingung ist dazu äquivalent, dass die Fundamentalgruppe trivial ist.
So sind in der nebenstehenden Abbildung sowohl der pinkfarbene Raum als auch sein weißes Komplement „einfach zusammenhängend“, ersterer allerdings erst dadurch, dass eine Trennlinie die Umrundung des weiß gezeichneten Komplements verhindert. Im unteren Teilbild dagegen sind weder der orangefarbene Raum
noch sein weiß gezeichnetes Komplement „einfach zusammenhängend“ – interpretiert man
als Darstellung der Topologie einer „Kugel mit vier Henkeln“, wären das Komplement die vier „Löcher“ der Henkelkugel.
Im Unterschied zu Teilräumen des , die, sobald sie einen oder mehrere nicht zu dem Raum gehörende Punkte („Löcher“) enthalten, dadurch auch nicht mehr „einfach zusammenhängend“ sind, gilt dies für Teilräume des
zunächst einmal nicht: Ein Raum mit der Topologie eines (ganzen) Schweizer Käses etwa bleibt dennoch (und unabhängig von der Zahl der Löcher in seinem Inneren) „einfach zusammenhängend“, weil jeder geschlossene Weg in einem solchen Raum sich unter Umgehung der Löcher zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wird der Raum dagegen von einer Kurve, z. B. einer Geraden, komplett durchquert, deren Punkte allesamt nicht zu dem Raum gehören, entsteht die Situation des Volltorus: Ein sich um die Gerade schließender Weg kann damit nicht mehr auf einen einzelnen Punkt zusammengezogen werden.
n-zusammenhängend
BearbeitenIst eine nichtnegative ganze Zahl, so heißt ein topologischer Raum
-zusammenhängend, falls alle Homotopiegruppen
für
trivial sind. „0-zusammenhängend“ ist also ein Synonym für „wegzusammenhängend“, und „1-zusammenhängend“ bedeutet dasselbe wie „einfach zusammenhängend“ im oben definierten Sinne.
Zusammenziehbar
BearbeitenEin Raum X ist zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent zu einem Punkt ist, das heißt die Identität auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist.Zusammenziehbare Räume haben daher aus topologischer Sicht ähnliche Eigenschaften wie ein Punkt, insbesondere sind sie immer einfach zusammenhängend. Aber die Umkehrung gilt nicht:n-Sphären mit festem Radius sind nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend sind.
Lokale Zusammenhangsbegriffe
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Not_locally_connected.png/220px-Not_locally_connected.png)
Die folgenden Begriffe sind lokale Eigenschaften, sie machen also Aussagen über das Verhalten in Umgebungen von Punkten:
Lokal zusammenhängend
BearbeitenEin Raum ist lokal zusammenhängend, falls es zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes gibt. Jeder Punkt besitzt dann eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen.
Ein lokal zusammenhängender Raum kann durchaus aus mehreren Zusammenhangskomponenten bestehen.Aber auch ein zusammenhängender Raum muss nicht unbedingt lokal zusammenhängend sein: Der „Kamm“, bestehend aus der Vereinigung der Intervalle ,
und
, ist zusammenhängend, doch jede genügend kleine Umgebung des Punktes
enthält unendlich viele nicht zusammenhängende Intervalle.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/0/0c/Zushang_buch_bild.png/220px-Zushang_buch_bild.png)
Lokal wegzusammenhängend
BearbeitenEin Raum ist lokal wegzusammenhängend oder lokal bogenweise zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die aus wegzusammenhängenden Umgebungen besteht. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist. Das oben gegebene Beispiel mit dem Graphen von und der
-Achse ist daher nicht lokal wegzusammenhängend. Fügt man auch noch die
-Achse hinzu bekommt man einen zusammenhängenden, wegzusammenhängenden, aber nicht lokal wegzusammenhängenden Raum („Warschauer Kreis“). Weiterhin ist das „Buch“ wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend für alle Punkte auf der Mittelsenkrechten mit Ausnahme des Schnittpunktes aller Geradenstücke.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Hawaiian_earrings.svg/220px-Hawaiian_earrings.svg.png)
Lokal einfach zusammenhängend
BearbeitenEin Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung enthält.
Mannigfaltigkeiten sind lokal einfach zusammenhängend.
Ein Beispiel für einen nicht lokal einfach zusammenhängenden Raum sind die Hawaiischen Ohrringe: Die Vereinigung von Kreisen mit Radien als Teilmenge des
, so dass sich alle Kreise in einem Punkt berühren. Dann enthält jede Umgebung um den Berührpunkt einen geschlossenen Kreis und ist daher nicht einfach zusammenhängend.
Semilokal einfach zusammenhängend
BearbeitenEin Raum ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung
besitzt, so dass sich jede Schleife in
in
zusammenziehen lässt (in
muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).
Semilokal einfach zusammenhängend ist eine schwächere Bedingung als lokal einfach zusammenhängend:Ein Kegel über den Hawaiischen Ohrringen ist semilokal einfach zusammenhängend, da sich jede Schleife über die Kegelspitze zusammenziehen lässt. Er ist aber (aus dem gleichen Grund wie die Hawaiischen Ohrringe selbst) nicht lokal einfach zusammenhängend.
Literatur
Bearbeiten- P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Erster Band. Berichtigter Reprint. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974 (MR0185557).
- Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
- Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
- Klaus Jänich: Topologie (= Springer-Lehrbuch). 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2001, ISBN 3-540-41284-0.
- James R. Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River NJ 2000, ISBN 0-13-181629-2.
- B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1979 (MR0639901).
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884).
- Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
Weblinks
Bearbeiten- Eric W. Weisstein: Connected Set. In: MathWorld (englisch).
- Connected space in der Springer Encyclopedia of Mathematics
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Dies ergibt sich als Folgerung aus dem Kettensatz.
- ↑ Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 94
- ↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 49
- ↑ Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86
- ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 39
- ↑ Camps et al., op. cit., S. 88
- ↑ Schubert, op. cit., S. 38
- ↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 50
- ↑ Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 150
- ↑ Camps et al., op. cit., S. 98
- ↑ Führer, op. cit., S. 125
- ↑ B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 96