Zustandsdichte
Die Zustandsdichte bzw. (engl. density of states, abgekürzt DOS) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände pro Energieintervall bzw. pro Frequenzintervall in einem physikalischen System existieren.
Im Allgemeinen wird die Zustandsdichte für Vielteilchensysteme im Rahmen eines Modells unabhängiger Teilchen betrachtet. Dann beziehen sich die Variablen bzw. auf die Energie der 1-Teilchenzustände. Häufig wird die Zustandsdichte dann auch in Abhängigkeit vom Impuls bzw. Wellenvektor der 1-Teilchenzustände betrachtet und gibt deren Anzahl pro Volumenintervall des Impulsraums () bzw. des reziproken Raums () an. Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Teilchensorten beziehen, z. B. auf Photonen, Phononen, Elektronen, Magnonen, Quasiteilchen, und wird pro Einheit des räumlichen Volumens angegeben. Für freie Teilchen ohne Spin lässt sich die Zustandsdichte daraus berechnen, dass im Phasenraum jeder quantenmechanische Zustand das Volumen einnimmt. Die Zustandsdichte (pro Volumen) ist dann konstant
Im Falle von Wechselwirkungen der Teilchen, sei es untereinander oder mit vorgegebenen Potentialen, kann die Zustandsdichte stark davon abweichen (siehe z. B. Bändermodell).
Definition
BearbeitenAllgemein ist die – auf das Volumen bezogene – Zustandsdichte für eine abzählbare Anzahl
an Energieniveaus definiert durch:
mit der Delta-Distribution .
Daraus erhält man durch Erweitern mit (der kleinsten erlaubten Änderung von
für ein Teilchen in einem
-dimensionalen Kasten der Länge
) beim Übergang zu einem Riemann-Integral (Limes
) die auf das Volumen bezogene Zustandsdichte für kontinuierliche Energieniveaus:
mit
der räumlichen Dimension des betrachteten Systems
- dem Betrag
des Wellenvektors.
Äquivalent kann die Zustandsdichte auch als Ableitung der mikrokanonischen Zustandssumme nach der Energie aufgefasst werden:
Die Zahl der Zustände mit Energie (Entartungsgrad) ist gegeben durch:
, wobei das letzte Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn der Mittelwertsatz der Integralrechnung für das Integral anwendbar ist.
Anschauung
BearbeitenAnschaulich zählt man die Mikrozustände für eine vorgegebene Energie :betrachtet man ein System mit
Mikrozuständen
, so wird die Zustandsdichte beschrieben durch
da das Integral über die Zustandsdichte gerade die Gesamtzahl der Mikrozustände liefert:
und außerdem liefert folgendes Integral die Zahl der Mikrozustände bei Energie
:
In obiger Formel ist zumindest für die Anschauung die Eigenschaft
der Deltadistribution wichtig, die jedoch nur für endlich viele und einfache Nullstellen
von
gilt.
n-dimensionales Elektronengas
BearbeitenDie folgenden Erläuterungen beziehen sich vorrangig auf Anwendungen in der Festkörperphysik.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Dos_-_2.png/220px-Dos_-_2.png)
In einem -dimensionalen Elektronengas können sich Ladungsträger in den Dimensionen
frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung angegeben werden:
Dabei ist
die effektive Masse des Ladungsträgers im Festkörper, genauer ist
die effektive Zustandsdichtemasse
die (durch
geteilte) Planck-Konstante.
Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten . Die (auf das Volumen
bezogene) Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:
Darin entspricht
- der Vorfaktor 2 den zwei möglichen Spinzuständen (oft wird er aber in
berücksichtigt, hier wurde dies nicht so gemacht)
dem Volumen des Festkörpers
der Anzahl aller Zustände mit Energie kleiner gleich
(vgl.: Mikrokanonische Zustandssumme
):
beschreibt im
-dimensionalen
-Raum das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie
zugänglich sind
ist das Volumen eines solchen Zustandes.
ist die Heaviside-Funktion.
Gesamtvolumen aller Zustände | Volumen eines Zustandes | (auf das Volumen bezogene) Zustandsdichte | |
---|---|---|---|
im k-Raum bei der verbleibenden Energie | |||
3D – Bulk | |||
2D – Quantentopf/Quantenfilm | |||
1D – Quantendraht | |||
0D – Quantenpunkt |
Im Halbleiter
Bearbeiten![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Density_of_states_in_intrinsic_Semiconductor_DE.svg/220px-Density_of_states_in_intrinsic_Semiconductor_DE.svg.png)
In Halbleitermaterialien ist das nach dem Bändermodell bestimmte Leitungsband bei T=0 K unbesetzt und durch eine Energielücke von dem darunter liegenden, voll besetzten Valenzband getrennt. Werden die Dispersionskurven in der Nähe der Extremwerte parabolisch (quadratisch) genähert, ergeben sich die gleichen Formeln wie für freie Elektronen, nur mit jeweils einer anderen Masse, die als effektive Masse bezeichnet wird. Die Ladungsträger, also Elektronen (e) im Leitungsband und Löcher (h) im Valenzband, verhalten sich in dieser Näherung wie freie (negative bzw. positive) Elektronen mit der Masse
bzw.
. Ist die effektive Masse richtungsabhängig, wählt man als Mittelwert
bzw.
die Zustandsdichtemasse. Sind beide effektiven Massen gleich, liegt das Fermi-Niveau
genau in der Mitte der Bandlücke.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Density_of_states_in_n-doped_Semiconductor_DE.svg/220px-Density_of_states_in_n-doped_Semiconductor_DE.svg.png)
Die Energie der Leitungsband-Unterkante sei , die der Valenzband-Oberkante
, die Differenz ist gleich der Bandlückenenergie
. Die Zustandsdichte im Leitungsband im Gültigkeitsbereich der quadratischen Näherung ist:
Die Zustandsdichte im Valenzband ist:
Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei -Dotierung nahe am Leitungsband und bei
-Dotierung nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die Aktivierungsenergie überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Fermi-Niveaus: es wird bei
-Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei
-Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer
-Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den Stromtransport erhöhen.
Die thermische Besetzung der Zustände wird durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie besetzt ist, schreibt sich
Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie nicht besetzt oder äquivalent ausgedrückt mit einem Loch besetzt ist, schreibt sich
Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten, also Elektronendichte im Leitungsband und Löcherdichte
im Valenzband, angeben:
sowie
Die Ausdehnung der Integrationsgrenzen über den Gültigkeitsbereich der quadratischen Näherung hinaus ist ohne Belang, weil das chemische Potential im Bereich der Bandlücke liegt und die Fermi-Verteilung daher sehr schnell gegen Null geht. Zur Berechnung dieser Integrale siehe Fermi-Dirac-Integral.
Literatur
Bearbeiten- Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik, Bd. 3 – Atome, Moleküle und Festkörper. 3. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21473-9.
Weblinks
Bearbeiten- Semiconductor Physics: Density of States. In: Britney Spears’ Guide to Semiconductor Physics. Carl Hepburn, abgerufen am 7. April 2009 (englisch).
- C.R.Wie: Carrier concentration in Si (or in any Semiconductor) versus the Fermi Energy Level and the Density of States. Abgerufen am 7. April 2009 (englisch, Java-Applet zu Zustandsdichte im Halbleiter).
- M. Alam: Online lecture: ECE 606 Lecture 8: Density of States (englisch).
- Zustandsdichte des freien Elektronengases – Kapitel 2.2.3. In: Einführung in die Materialwissenschaft II, Uni Kiel. Abgerufen am 12. August 2010 (Sehr ausführliches und recht verständliches Skript).
- Herleitung der Zustandsdichte freier Teilchen in 3D ( vom 19. Oktober 2013 im Internet Archive)