Ακέραιος αριθμός
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:
Συμβολίζεται με το γράμμα , αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.[1][2]
Το σύνολο ορίζεται επίσης ως εξής:
Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο (άλεφ-μηδέν).
Συμβολισμοί
ΕπεξεργασίαΤο σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα , έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με
, οι μη αρνητικοί με
και οι θετικοί με
.[3] Ο δακτύλιος των ακεραίων μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο
, εκτός από το συνήθες
.[4]
Αλγεβρικές Ιδιότητες
ΕπεξεργασίαΟι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.
Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.
Πρόσθεση | Πολλαπλασιασμός | |
σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις | ||
αντιμεταθετική ιδιότητα | ||
προσεταιριστική ιδιότητα | ||
ουδέτερο στοιχείο | ||
δεν υπάρχει | αντίθετο στοιχείο | |
επιμεριστική ιδιότητα |
Διάταξη
ΕπεξεργασίαΟι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:
Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.
Κατασκευή
Επεξεργασία![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Relative_numbers_representation.svg/220px-Relative_numbers_representation.svg.png)
Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.
Θεωρούμε το σύνολο των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:
Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ορίζει τους ακέραιους αριθμούς
. Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους
τη συμβολίζουμε με
ή
.Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .
Ένας ακέραιος αριθμός είναι θετικός, όταν
, αρνητικός όταν
και 0 όταν
. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:
Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:
Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:
Πληθάριθμος
ΕπεξεργασίαΤο σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών.Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης
, συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΣύνολο των
Παραπομπές
Επεξεργασία- ↑ (Αγγλικά) «from the German word Zahl = number». Conrad Keith. Divisibility and greatest common divisor από kconrad.math.uconn.edu. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Z." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Z.html. Αρχειοθετήθηκε 13/07/2017. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Z." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Integer.html. Αρχειοθετήθηκε 22/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
- ↑ Terr, David and Weisstein, Eric W. "Ring of Integers." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RingofIntegers.html. Αρχειοθετήθηκε 15/01/2018. Ανακτήθηκε 28/01/2019.