Υπεροκτάεδρο

Το υπεροκτάεδρο 4-διαστάσεων είναι επίσης γνωστό με το όνομα δεκαεξάχωρο (αγγλικά: hexadecachoron ή 16-cell). Είναι ένα από τα έξι κυρτά κανονικά πολύτοπα 4-διαστάσεων. Τα πολύχωρα αυτά περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Ludwig Schläfli στα μέσα του 19ου αιώνα.

Η οικογένεια υπεροκταέδρων είναι μία από τις τρεις οικογένειες κανονικών πολυτόπων, οι οποίες φέρουν Coxeter ως β_ν, οι άλλες δύο είναι η οικογένεια υπερκύβων, ως γ_ν, και τα πλέγματα, ως α_ν. Μία τέταρτη οικογένεια, είναι οι άπειρες ψηφιδοθετήσεις των υπερκύβων (hypercubic honeycomb), που χαρακτηρίζονται ως δ_ν.

Τα ν διαστάσεων υπεροκτάεδρα έχουν 2ν κορυφές, και 2^ν έδρες (ν−1 διαστάσεων τμήματα) οι οποίες είναι όλες ν−1 πλέγματα. Τα σχήματα κορυφών είναι όλα ν−1 υπεροκτάεδρα. Το σύμβολο Schläfli του υπεροκταέδρου είναι {3,3,…,3,4}. Η δίεδρη γωνία των n διαστάσεων υπεροκταέδρων είναι:

${\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$ .

Ο αριθμός των συνιστωσών k-διαστάσεων (κορυφές, ακμές, επιφάνειες, ..., έδρες) σε n διαστάσεων υπεροκτάεδρα δίνεται (με βάση τον διωνυμικό συντελεστή) από την:

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$

Ο όγκος των υπεροκταέδρων n-διαστάσεων είναι:

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

Υπάρχουν πολλές πιθανές ορθογραφικές προβολές που μπορεί να δείξουν τα υπεροκτάεδρα σε γραφικά 2-διαστάσεων. Οι προβολές του Πέτρι πολυγώνου χαρτογραφούν τα σημεία σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο ή κατώτερης τάξης κανονικά πολύγωνα. Μια δεύτερη προβολή παίρνει το 2(ν-1)-γώνιο Πέτρι πολύγωνο της κάτω διάστασης, δείχνοντάς το ως μια διπυραμίδα, που προβάλεται κάτω από τον άξονα, με 2 κορυφές της να αντιστοιχίζονται στο κέντρο.

Στοιχεία υπεροκταέδρου

n	βn k11	Ονομασίες Γραφικά	Γραφικά 2n-γώνια	Γραφικά 2(n-1)-γώνια	Schläfli	Coxeter-Dynkin	Κορυφές	Ακμές	Επιφάνειες	Κελιά	4-Επιφ.	5-Επιφ.	6-Επιφ.	7-Επιφ.	8-Επιφ.	9-Επιφ.
1	β1	ευθύγραμμο τμήμα 1-ορθόπλεξη			{}		2
2	β2 −111	τετράγωνο 2-ορθόπλεξη Bicross			{4} {}+{}		4	4
3	β3 011	οκτάεδρο 3-ορθόπλεξη Tricross			{3,4} {30,1,1} {}+{}+{}		6	12	8
4	β4 111	δεκαεξάχωρο 4-ορθόπλεξη Tetracross			{3,3,4} {31,1,1} 4{}		8	24	32	16
5	β5 211	5-ορθόπλεξη Pentacross			{33,4} {32,1,1} 5{}		10	40	80	80	32
6	β6 311	6-ορθόπλεξη Hexacross			{34,4} {33,1,1} 6{}		12	60	160	240	192	64
7	β7 411	7-ορθόπλεξη Heptacross			{35,4} {34,1,1} 7{}		14	84	280	560	672	448	128
8	β8 511	8-ορθόπλεξη Octacross			{36,4} {35,1,1} 8{}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9	β9 611	9-ορθόπλεξη Enneacross			{37,4} {36,1,1} 9{}		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
10	β10 711	10-ορθόπλεξη Decacross			{38,4} {37,1,1} 10{}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
...
n	βn k11	n-ορθόπλεξη n-cross			{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{}	... ... ...	2n 0-επιφάνειες, ... ${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}$ k-επιφάνειες ..., 2n (n-1)-επιφάνειες

Όλες οι κορυφές ενός ευθυγραμμισμένου άξονα υπεροκταέδρου είναι σε ίση απόσταση με την κάθε άλλη κορυφή σε απόσταση Manhattan (L¹ νόρμα). Ο Kusner στις Εικασίες του δηλώνει ότι αυτό το σύνολο των 2d σημείων είναι το μεγαλύτερο δυνατό ισαπέχον σύνολο για την απόσταση αυτή.^[3]

• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3η έκδοση). Νέα Υόρκη: Dover Publications. σελίδες 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5).

• Weisstein, Eric W., "Cross polytope" από το MathWorld.
• Olshevsky, George, Glossary for Hyperspace: Cross polytope.