Ekvilibra aro

Supozu ke ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ estas la korpo de aŭ la reeloj aŭ la kompleksaj nombroj. Supozu ke ${\displaystyle V}$ estas vektora spaco super ${\displaystyle \mathbb {K} }$ .

Subaro ${\displaystyle S\subseteq V}$ de ${\displaystyle V}$ estas ekvilibra se kaj nur se

${\displaystyle S=\bigcup _{\alpha \in \mathbb {K} \atop |\alpha |\leq 1}\alpha S}$ .

Pli konkrete, jen la kriterio: pri ajna ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ kaj ${\displaystyle s\in S}$ , se ${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$ , do ${\displaystyle \alpha s\in S}$ .

La ekvilibraĵo de subaro ${\displaystyle S}$ estas la plej malgranda ekvilibra aro enhavanta la subaron S, aŭ pli konkrete la subaro

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \mathbb {K} \atop |\alpha |\leq 1}\alpha S=\{\alpha s\colon \alpha \in \mathbb {K} ,\;s\in S\,\;|\alpha |\leq 1\}}$ .

• La kunaĵo kaj komunaĵo de ekvilibraj aroj estas ekvilibraj.
• Laŭdifine, subaro estas absolute konveksa se kaj nur se ĝi estas konveksa kaj ekvilibra.
• La kartezia produto de finia familio de ekvilibraj aroj estas ekvilibra en la produta spaco de la respektivaj vektoraj spacoj.

• En ajna vektora spaco, la malplena aro kaj la tuta vektora spaco estas ĉiam ekvilibraj aroj. Pli ĝenerale, ĉiu lineara subspaco de reela aŭ kompleksa vektora spaco estas ekvilibra aro.
• La unuoglobo en normigita vektora spaco estas ekvilibra aro.

En la kompleksa ebeno ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , rigardata kiel 1-dimensia vektora spaco super si, la ekvilibraj aroj estas unu el la ĉi-suba listo:

• La tuta kompleksa ebeno ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Pri ajna nenegativa reelo ${\displaystyle r}$ , la fermita disko de radiuso ${\displaystyle r}$ :

  ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \colon |\lambda |\leq r\}}$

  • Specife, se ${\displaystyle r=0}$ , la origina unuopo ${\displaystyle \{0\}}$
• Pri ajna nenegativa reelo ${\displaystyle r}$ , la malfermita disko de radiuso ${\displaystyle r}$ :

  ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \colon |\lambda |<r\}}$

  • Specife, se ${\displaystyle r=0}$ , la malplena aro ${\displaystyle \varnothing }$

Tamen, en la dudimensia eŭklida spaco ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ rigardata kiel dudimensia reela vektora spaco, ekzistas aliaj ekvilibraj aroj; ekzemple, pri ajna ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}}$ , la subaro

${\displaystyle \{\lambda v\colon \lambda \in [-1,-1]\}}$

estas ekvilibra.

• Eric W. Weisstein, Balanced set en MathWorld.