Espacio de Grothendieck
tipo de espacio de Banach relacionado con su bidual
En matemáticas, un espacio de Grothendieck, que lleva el nombre de Alexander Grothendieck, es un espacio de Banach en el que cada sucesión en su espacio dual que converge en la topología *débil (también conocida como topología de convergencia puntual) también convergerá cuando esté dotado de que es la topología débil inducida sobre por su bidual. Dicho de otra manera, un espacio de Grothendieck es un espacio de Banach para el que una sucesión en su espacio dual converge *débilmente si y solo si converge débilmente.
Caracterizaciones
editarSea un espacio de Banach. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:
es un espacio de Grothendieck.
- Para cada espacio de Banach separable
cada operador lineal acotado de
a
es débilmente compacto, es decir, la imagen de un subconjunto acotado de
es un subconjunto débilmente compacto de
- para cada espacio de Banach
generado de forma débilmente compacta, cada operador lineal acotado de
a
es débilmente compacto.
- Cada función *débil continua en el dual
es débilmente integrable de Riemann.
Ejemplos
editar- Cada espacio reflexivo de Banach es un espacio de Grothendieck. Por el contrario, una consecuencia del teorema de Eberlein-Šmulian es que un espacio de Grothendieck separable
debe ser reflexivo, ya que la identidad de
es débilmente compacta en este caso.
- Los espacios de Grothendieck que no son reflexivos incluyen el espacio
de todas las funciones continuas en un espacio compacto stoneano
y el espacio
para una medida
(un espacio compacto stoneano es un espacio compacto de Hausdorff en el que la clausura de cada conjunto abierto está abierta).
- Jean Bourgain demostró que el espacio
de funciones holomorfas acotadas en un disco es un espacio de Grothendieck.[1]
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ J. Bourgain,
is a Grothendieck space, Studia Math., 75 (1983), 193–216.
Bibliografía
editar- J. Diestel, Geometría de los espacios de Banach, Temas seleccionados, Springer, 1975.
- J. Diestel, J. J. Uhl: Medidas vectoriales. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1.
- Shaw, S.-Y. (2001), «Espacio de Grothendieck», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
- Khurana, Surjit Singh (1991). «Grothendieck spaces, II». Journal of Mathematical Analysis and Applications (Elsevier BV) 159 (1): 202-207. ISSN 0022-247X. doi:10.1016/0022-247x(91)90230-w.
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