Espacio normado auxiliar
En análisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos con el fin de definir operadores nucleares y espacios nucleares:[1]
- El primero de estos métodos se utiliza si el disco está acotado. En este caso, el espacio normado auxiliar es , con la norma
- El otro método se utiliza si el disco es absorbente. En este segundo caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente
Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y espacios normados).
Inducido por un disco acotado – Discos de Banach
editarEn este artículo, será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y
será un disco en
Espacio seminormado inducido por un disco
editarSea un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto
de
el Funcional de Minkowski de
se define por:
- Si
, entonces define
como la aplicación trivial
[2] y se asumirá que
[note 1]
- Si
y si
es absorbente en
, entonces denota el funcional de Minkowski de
en
por
donde para todos los esto se define por :
Sea un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto
de
tal que el
funcional de Minkowski sea una seminorma en
denótese por
que se denomina seminorma inducida por donde si
es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por
Supuesto (Topología): está dotado de la topología de la seminorma inducida por
que se denotará por
o
Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto la estructura algebraica de
y la topología habitual en
(ya que
se define usando solo el conjunto
y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.
La aplicación de inclusión se denomina "aplicación canónica".[1]
Supóngase que es un disco.Entonces,
para que
sea absorbente en
el sistema generador de
El conjunto
de todos los múltiplos escalares positivos de
forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo
en
El funcional de Minkowski del disco
en
garantiza que
esté bien definido y forme una seminorma en
[3]La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología
que se definió anteriormente.
Definición de disco de Banach
editarUn disco acotado en un espacio vectorial topológico
tal que
sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en
Si se muestra que es un espacio de Banach, entonces
será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga
como un subconjunto acotado.
Esto se debe a que el funcional de Minkowski se define en términos puramente algebraicos.En consecuencia, la cuestión de si
forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco
y de
el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que
pueda tener inducida.Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT
sea un subconjunto acotado de
es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT
que lo contiene.
Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco
editarDiscos acotados
El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.
|
Demostración |
Si el disco De ello se deduce que en este caso la topología de |
Hausdorffsidad
El espacio es de Hausdorff si y solo si
es una norma, lo que ocurre si y solo si
no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.[6]En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff
, de modo que
esté acotado en
, entonces
es una norma.Un ejemplo en el que
no es de Hausdorff se obtiene dejando que
y dejando que
sea el eje
.
Convergencia de redes
Supóngase que es un disco en
tal que
es de Hausdorff y sea
una red en
Entonces,
en
si y solo si existe un
red de números reales tal que
y
para todo
;además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que
para todo
Relación entre espacios inducidos por un disco
Si , entonces
y
en
se define la siguiente aplicación lineal continua:[5]
Si y
son discos en
con
, entonces denomínese a la aplicación de inclusión
la "inclusión canónica" de
en
En particular, la topología subespacial que hereda de
es más débil que la topología inducida por la seminorma de
.[5]
El disco como bola unitaria cerrada
El disco es un subconjunto cerrado de
si y solo si
es la bola unitaria cerrada de la seminorma
; esto es
Si es un disco en un espacio vectorial
y si existe una topología EVT
en
tal que
es un subconjunto cerrado y acotado de
entonces
es la bola unitaria cerrada de
(es decir,
) (véase nota al pie para su demostración).[note 2]
Condiciones suficientes para un disco de Banach
editarEl siguiente teorema se puede utilizar para establecer que es un espacio de Banach.
Una vez establecido esto, será un disco Banach en cualquier EVT en el que
esté acotado.
|
Demostración |
Supóngase sin pérdida de generalidad que Dado que Debido a que Sea Esto implica que para cualquier de modo que en particular, tomando Dado que † Esta suposición está permitida porque |
Tenga en cuenta que incluso si no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que
es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco
que satisfaga
porque
Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:
- Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.[5]
- Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.[8]
- La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.[5]
Supóngase que es un disco acotado en un EVT
- Si
es una aplicación lineal continua y
es un disco de Banach, entonces
es un disco de Banach y
induce un isomorfismo sobre el EVT
Propiedades de los discos de Banach
editarSea un EVT y
sea un disco limitado en
Si es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff
, y si
es barrilado en
, entonces
absorbe a
(es decir, hay un número
tal que
[4]
Si es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en
, entonces la colección de todos los entornos
donde
abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en
Cuando
tiene esta topología, se denota por
Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff
se denota por
, de modo que
es un espacio de Hausdorff completo y
es una norma en este espacio que convierte a
en un espacio de Banach. El polar de
es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en
y, por lo tanto, es infracompleto.
Si es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado
de
existe un disco
acotado en
tal que
y tanto
como
inducen la misma topología del subespacio en
[5]
Inducido por un disco radial – cociente
editarSupóngase que es un espacio vectorial topológico y
es un conjunto convexo equilibrado y radial.Entonces,
es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa
en
Esta topología de EVT
está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por
que es una seminorma en
definida por
La topología
es de Hausdorff si y solo si
es una norma, o equivalentemente, si y solo si
o equivalente, para lo cual basta que
esté acotado en
La topología
no tiene por qué ser de Hausdorff, pero
sí que lo es.
induce una norma sobre
donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia
elegida.El espacio normado
se denota por
y su completación se denota por
Si además, está acotado en
, entonces la seminorma
es una norma, por lo que en particular,
En este caso, se toma
como el espacio vectorial
en lugar de
, de modo que la notación
no sea ambigua (si
denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).[1]
La topología cociente en
(heredada de la topología original de
) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.
Aplicaciones canónicas
editarLa aplicación canónica es la clase de equivalencia que es continua cuando
tiene la topología normal o la topología del cociente.[1]
Si y
son discos radiales tales como
, entonces
, por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua
, definida enviando
a la clase de equivalencia
donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia
que se elija.[1]
Esta aplicación canónica tiene la norma ,[1] y posee una extensión canónica lineal continua única a
que se denota por
Supóngase además que y
son discos acotados en
con
, de modo que
y la inclusión
sea una aplicación lineal continua.Sean
y
las aplicaciones canónicas.Entonces,
y
[1]
Inducido por un disco radial acotado
editarSupóngase que es un disco radial acotado.Dado que
es un disco acotado, si
, entonces se puede crear el espacio normado auxiliar
con la norma
. Como
es radial,
Dado que
es un disco radial, si
, entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar
con la seminorma
. Debido a que
está acotado, esta seminorma es una norma y
, por lo que entonces
Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.
Dualidad
editarSupongamos que es un disco equicontinuo débilmente cerrado en
(esto implica que
es débilmente compacto) y sea
el polar de Debido a que
según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo
pertenece a
si y solo si
pertenece al espacio dual continuo de
donde
es el funcional de Minkowski de
definido por
[9]
Conceptos relacionados
editarUn disco en un EVT se llama infrabornivoro[5] si absorbe todos los discos de Banach.
Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotada[5] si asigna discos de Banach a discos delimitados.
Convergencia rápida
editarSe dice que una sucesión en un EVT
es "rápidamente convergente"[5] a un punto
si existe un disco de Banach
tal que tanto
como la sucesión estén (finalmente) contenidos en
y
en
Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.[5]
Véase también
editarNotas
editar- ↑ Este es el espacio vectorial más pequeño que contiene
Alternativamente, si
entonces
puede reemplazarse por
- ↑ Supóngase sin pérdida de generalidad que
Dado que
está cerrado en
también está cerrado en
y dado que la seminorma
es el funcional de Minkowski de
que es continuo en
se deduceNarici y Beckenstein (2011, pp. 119–120) que
es la bola unitaria cerrada en
Referencias
editar- ↑ a b c d e f g h Schaefer y Wolff, 1999, p. 97.
- ↑ Schaefer y Wolff, 1999, p. 169.
- ↑ Trèves, 2006, p. 370.
- ↑ a b Trèves, 2006, pp. 370-373.
- ↑ a b c d e f g h i j Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-457.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 115-154.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-442.
- ↑ Trèves, 2006, pp. 370–371.
- ↑ Trèves, 2006, p. 477.
Bibliografía
editar- Burzyk, Józef; Gilsdorf, Thomas E. (1995). «Some remarks about Mackey convergence». International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (Hindawi Limited) 18 (4): 659-664. ISSN 0161-1712. doi:10.1155/s0161171295000846.
- Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited 16. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 9781470424831. OCLC 185095773.
- Dubinsky, Ed (1979). The Structure of Nuclear Fréchet Spaces. Lecture Notes in Mathematics 720. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC 5126156.
- Grothendieck, Alexander (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (en francés) (Providence: American Mathematical Society) 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis. North-Holland Mathematics Studies 26. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064. OCLC 316549583.
- Hogbe-Nlend, Henri; Moscatelli, V. B. (1981). Nuclear and Conuclear Spaces: Introductory Course on Nuclear and Conuclear Spaces in the Light of the Duality "topology-bornology". North-Holland Mathematics Studies 52. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345.
- Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 66 (Second edición). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541.
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products. Lecture Notes in Mathematics 726. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.