Número primo de Mersenne

Demostración
Si n es un número natural, por el teorema del binomio se tiene:

${\displaystyle c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum _{k=0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k}}$ ,

Tomando ${\displaystyle c=2}$ , ${\displaystyle d=1}$ y ${\displaystyle n=ab}$ (a, b > 1), se tiene:

${\displaystyle M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=(2^{a}-1)\sum _{k=0}^{b-1}(2^{a})^{k}1^{b-1-k}=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)}$

${\displaystyle 2^{a}-1}$ es mayor que 1 porque se ha procurado que ${\displaystyle a}$ sea estrictamente mayor que 1, y la suma ${\displaystyle 1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}}$ también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de ${\displaystyle M_{n}}$ , así que ${\displaystyle M_{n}}$ es compuesto.

Observación: Por contraposición, si M_n es primo, entonces n es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne M_n, ya que solo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.

• Ejemplo I: ${\displaystyle 2^{5}-1=31}$ es primo, siendo:

31 = 6 · 5 + 1

• Ejemplo II: ${\displaystyle 2^{11}-1=2047=23\cdot 89}$ , siendo:

23 = 2 · 11 + 1

89 = 8 · 11 + 1

2047 = 186 · 11 + 1

Demostración

Si q es un primo que divide ${\displaystyle 2^{p}-1}$ , entonces ${\displaystyle 2^{p}}$ ≡ 1 (mod q). Por el Pequeño Teorema de Fermat, ${\displaystyle 2^{q-1}}$ ≡ 1 (mod q). Supongamos que p que no divide a q − 1 para llegar a contradicción. Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que ${\displaystyle (q-1)^{p-1}}$ ≡ 1 (mod p). Por tanto, existe un número x ≡ ${\displaystyle (q-1)^{p-2}}$ tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.

Como ${\displaystyle 2^{q-1}}$ ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta ${\displaystyle 2^{(q-1)x}}$ ≡ 1, y como ${\displaystyle 2^{p}}$ ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potencia k resulta ${\displaystyle 2^{pk}}$ ≡ 1. Por tanto, 1≡ ${\displaystyle {\frac {2^{(q-1)x}}{2^{pk}}}}$ ≡ ${\displaystyle 2^{(q-1)x-pk}}$ (mod q). Pero teníamos que (q − 1)x − kp = 1, lo que implica que ${\displaystyle 2^{1}}$ ≡ 1 (mod q); en otras palabras, que q divide 1. Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.

Por lo tanto, ${\displaystyle q=n\cdot p+1}$ . Pero, además, este n tiene que ser par, porque ${\displaystyle 2^{p}-1}$ es impar y todos sus divisores deben ser también impares. Como p era un primo impar, la única manera que esto ocurra es que ${\displaystyle n=2k}$ y, finalmente, ${\displaystyle q=2kp+1}$ .

Demostración

${\displaystyle 2^{p+1}=2{\pmod {q}}}$ , así que ${\displaystyle 2^{(p+1)/2}}$ es una raíz cuadrada de 2 módulo ${\displaystyle q}$ .
Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con ${\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}$ .

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos:

No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 48.º (M_43.112.609) y el 51.º (M_82.589.933). Por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29.º número primo de Mersenne fue descubierto después del 30.º y el 31.º.

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M₂₅₇ y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen las dos primeras de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

1. p = 2^k ± 1 o p = 4^k ± 3 para algún número natural k.
2. 2^p − 1 es primo (un número primo de Mersenne).
3. (2^p + 1) / 3 es primo (un número primo de Wagstaff).

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p − 1 como (2^p + 1)/3 son compuestos. Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta. Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente p menor que x se puede aproximar asintóticamente por

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(x)}$ ,

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ${\displaystyle e^{\gamma }=1,781072417990197\dots }$

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2: Teorema de Euclides- Euler. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Un número doble de Mersenne se define como:

${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$

donde p es el exponente de un número primo de Mersenne.

Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.

• Constante de Erdős–Borwein
• Número perfecto
• Número primo de Fermat
• Número primo de Wagstaff
• Número primo de Wieferich
• Repunit
• Test de Lucas-Lehmer

• Sección dedicada a los números primos de Mersenne en The Prime Pages, en inglés
• GIMPS: proyecto distribuido de búsqueda de números primos de Mersenne, en inglés.
• Determinación geométrica de los números primos y perfectos