Arc cosinus

La fonction ${\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]}$ est définie comme la fonction réciproque de ${\displaystyle \cos }$ sur ${\displaystyle [0,\pi ]}$ , c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

$${\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}$$

Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente, la fonction ${\displaystyle \arccos }$ n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante :$${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}$$

Pour ${\displaystyle X=\arccos x}$ , on a ${\displaystyle \sin X\geq 0}$ (car ${\displaystyle X\in [0,\pi ]}$ ) et ${\displaystyle \cos ^{2}X+\sin ^{2}X=1}$ , donc :$${\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}$$

Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque ${\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1}$ , on a ${\displaystyle \arccos \left(2X^{2}-1\right)=2\arccos X}$ , mais seulement pour ${\displaystyle X\in [0,1].}$

Comme dérivée d'une fonction réciproque, ${\displaystyle \arccos }$ est dérivable sur ${\displaystyle ]-1;1[}$ et vérifie :

${\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra).

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

${\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$

Les primitives de la fonction ${\displaystyle \arccos }$ s'obtiennent par intégration par parties :

${\displaystyle \int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}$

${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$ .

En effet, ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x}$ est compris entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ et son sinus est égal au cosinus de ${\displaystyle \arccos x}$ , c'est-à-dire à ${\displaystyle x}$ , donc ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\arcsin x}$ .

(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

On peut exprimer la fonction ${\displaystyle \arccos }$ à l’aide du logarithme complexe :

${\displaystyle \arccos(x)=-\mathrm {i} \,\ln \left(x+\mathrm {i} \,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} \,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}$

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Cosine », sur MathWorld

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes  :

  • Enciclopedia De Agostini
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Treccani

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