Cercle mixtilinéaire d'un triangle
En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Mixtilinear_incircle.png/350px-Mixtilinear_incircle.png)
Existence et unicité
modifierOn prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle est unique.
Soit la composée de l'inversion de pôle A et de rapport
, et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A.
échange les sommets A et A et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact,
fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous
est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.
La même application appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique[1].
Construction
modifier- On construit d'abord le centre inscrit
par intersection des bissectrices.
- La droite passant par
perpendiculaire à
intersecte
et
aux points
et
respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire.
- Les perpendiculaires à
et
passant par les points
et
respectivement se croisent en un point noté
, qui est le centre du cercle mixtilinéaire.
Cette construction est possible, avec le lemme suivant :
Lemme — Le centre du cercle inscrit est le milieu des points de contact du cercle mixtilinéaire aux deux côtés du triangle.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Mixtilinear_incircle_construction.png/400px-Mixtilinear_incircle_construction.png)
Quelques propriétés
modifierRayon
modifierLa formule suivante relie le rayon du cercle inscrit et du rayon
du cercle
-mixtilinéaire d'un triangle
:
où
est la mesure de l'angle en
[3].
Relation aux points sur le cercle circonscrit
modifier- La droite
coupe l'arc
en son milieu[4],[5].
- Le quadrilatère
est harmonique, ce qui signifie que
est une symédiane du triangle
[1].
Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit
modifier et
sont deux quadrilatères cycliques[4].
Relation entre les trois cercles mixtilinéaires
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/MixtrilinearIncircles.svg/350px-MixtrilinearIncircles.svg.png)
Les trois droites ,
et
concourent en un point[3], son nombre de Kimberling est X(56)[6]. Il est défini par des coordonnées trilinéaires
et coordonnées barycentriques
.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/MixtrilinearExcircles.svg/350px-MixtrilinearExcircles.svg.png)
Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point qui divise
avec rapport
où
sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit[5].
Voir aussi
modifierRéférences
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mixtilinear circle » (voir la liste des auteurs).
- (en) Jafet Baca, « On Mixtilinear Incircles » (consulté le )
- Jean-Louis Aymé, « Gaston Albert Gohierre de Longchamps dans les journaux scientifiques » [archive] [PDF]
- (en) Paul Yui, « Mixtilinear Incircles », The American Mathematical Monthly, vol. 106, no 10, , p. 952–955 (DOI 10.1080/00029890.1999.12005146, lire en ligne, consulté le )
- (en) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, United States of America, MAA, , 68 p. (ISBN 978-1-61444-411-4)
- (en) Khoa Lu Nguyen et Juan Carlos Salazar, « On Mixtilinear Incircles and Excircles », (consulté le ), p. 1-6
- (en) « ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS », faculty.evansville.edu (consulté le )