Opérateur de Volterra

Pour tout ${\displaystyle (f,g)\in L^{2}([0,1])^{2}}$ , d'après le théorème de Fubini, $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Vf|g\rangle &=\int _{0}^{1}Vf(x){\overline {g(x)}}~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x}f(y){\overline {g(x)}}~\mathrm {d} y~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(y){\overline {g(x)}}\mathbb {1} _{y\leq x}~\mathrm {d} y~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(y){\overline {g(x)}}\mathbb {1} _{y\leq x}~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}f(y)\int _{y}^{1}{\overline {g(x)}}~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}f(y){\overline {\left(\int _{y}^{1}g(x)~\mathrm {d} x\right)}}~\mathrm {d} y\\&=\langle f|V^{*}g\rangle \end{aligned}}}$$

Pour tous ${\displaystyle f\in L^{2}([0,1])}$ et ${\displaystyle (x,y)\in [0,1]^{2}}$ tel que ${\displaystyle x\leq y}$ ,

$${\displaystyle |Vf(y)-Vf(x)|=\left|\int _{x}^{y}f(t)~\mathrm {d} t\right|\leq \left(\int _{x}^{y}1~\mathrm {d} t\right)^{1/2}\left(\int _{x}^{y}|f(t)|^{2}~\mathrm {d} t\right)^{1/2}\leq |x-y|^{1/2}\|f\|_{2}\leq \|f\|_{2}}$$

donc ${\displaystyle \mathrm {Im} (V)\subseteq {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ , donc d'après le théorème d'Ascoli en notant ${\displaystyle B}$ la boule unité fermée de ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ , ${\displaystyle {\overline {V(B)}}}$ est un compact de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ . Ce raisonnement montre que ${\displaystyle {\tilde {V}}:L^{2}([0,1])\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ (la co-restriction de ${\displaystyle V}$ à ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ ) est un opérateur compact. Comme l'injection ${\displaystyle \iota :{\mathcal {C}}^{0}([0,1])\hookrightarrow L^{2}([0,1])}$ est un opérateur (continu), et comme ${\displaystyle V=\iota \circ {\tilde {V}}}$ , on montre ainsi que ${\displaystyle V}$ est un opérateur compact.

Le même raisonnement déroulé dans le cas des fonctions continues ci-dessous permet de montrer que ${\displaystyle 0\in \sigma (V)}$ et que ${\displaystyle 0}$ n'est pas valeur propre de ${\displaystyle V}$ . Par l'absurde, supposons que ${\displaystyle \sigma (V)\neq \{0\}}$ , considérons ${\displaystyle \lambda \in \sigma (V)\backslash \{0\}}$ . Comme ${\displaystyle V}$ est compact, ${\displaystyle \lambda }$ est un valeur propre de ${\displaystyle V}$ . Considérons un vecteur propre ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle V}$ associé à ${\displaystyle \lambda }$ . Pour tout ${\displaystyle x\in [0,1],\ Vf(x)=\int _{0}^{x}f(t)~\mathrm {d} t=\lambda f(x)}$ , donc en dérivant (ce qui est permis, car ${\displaystyle Vf}$ est continue comme intégrale d'une fonction intégrable, donc ${\displaystyle f}$ est continue car ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ , donc ${\displaystyle Vf}$ est l'intégrale d'une fonction continue, ce qui est bien dérivable), ${\displaystyle f(x)=\lambda f'(x)}$ , donc ${\displaystyle f(x)=f(0)\mathrm {e} ^{x/\lambda }=\lambda ^{-1}Vf(0)\mathrm {e} ^{x/\lambda }=0}$ , ce qui est impossible car ${\displaystyle f}$ est un vecteur propre (non nul). Ainsi, ${\displaystyle 0\in \sigma (V)}$ , et ${\displaystyle 0}$ n'est pas valeur propre de ${\displaystyle V}$ , a fortiori ${\displaystyle V}$ n'a pas de valeur propre.

Supposons que ${\displaystyle V^{*}V}$ admet une valeur propre non nulle ${\displaystyle \lambda }$ . soit ${\displaystyle f}$ un vecteur propre (non nul) de ${\displaystyle V^{*}V}$ associé à ${\displaystyle \lambda }$ . Dans ces conditions, ${\displaystyle V^{*}Vf=\lambda f}$ est deux fois dérivable (même raisonnement que dans la démonstration ci-dessus), donc en dérivant deux fois, ${\displaystyle \lambda f''(t)=-f(t)}$ , donc il existe ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}}$ tel que pour tout ${\displaystyle t\in [0,1],\ f(t)=\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega t)}$ où ${\displaystyle \omega ^{2}=1/\lambda }$ . Or, pour tout ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda f(t)=V^{*}Vf(t)&=\int _{t}^{1}\int _{0}^{y}f(x)~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{t}^{1}\int _{0}^{y}\alpha \cos(\omega x)+\beta \sin(\omega x)~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y\\&=\int _{t}^{1}\alpha \left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega }}\right]_{0}^{y}+\beta \left[{\frac {-\cos(\omega x)}{\omega }}\right]_{0}^{y}~\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\omega }}\int _{t}^{1}\alpha \sin(\omega y)-\beta \cos(\omega y)+\beta ~\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\omega }}\left(\alpha \left[{\frac {-\cos(\omega y)}{\omega }}\right]_{t}^{1}-\beta \left[{\frac {\sin(\omega y)}{\omega }}\right]_{t}^{1}+\beta (1-t)\right)\\&={\frac {-1}{\omega ^{2}}}(\alpha \cos(\omega )-\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega )-\beta \sin(\omega t))+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\&={\frac {1}{\omega ^{2}}}f(t)-{\frac {\alpha \cos(\omega )+\beta \sin(\omega )}{\omega ^{2}}}+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\&=\lambda f(t)-{\frac {\alpha \cos(\omega )+\beta \sin(\omega )}{\omega ^{2}}}+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\\end{aligned}}}$$

Donc ${\displaystyle \beta =0}$ et ${\displaystyle \alpha \cos(\omega )=0}$ . Or ${\displaystyle f\neq 0}$ donc ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ donc ${\displaystyle \cos(\omega )=0}$ , donc il existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \omega =\pi /2+n\pi }$ , donc ${\displaystyle \lambda ={\frac {4}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}}$ . Le même calcul que ci-dessus montre que réciproquement, pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ \lambda _{n}:={\frac {4}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}}$ est une valeur propre de ${\displaystyle V^{*}V}$ . Ainsi, l'ensemble des valeurs propres non nulles de ${\displaystyle V^{*}V}$ est ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ . Par ailleurs, ${\displaystyle \mathrm {Ker} (V^{*}V)=\{0\}}$ : en effet, si ${\displaystyle f\in \mathrm {Ker} (V^{*}V)}$ , alors de même que dans la démonstration ci-dessous, pour tout ${\displaystyle x\in [0,1],\ \int _{0}^{x}f(t)~\mathrm {d} t=0}$ . On en déduit que ${\displaystyle f}$ est orthogonale à toute fonction en escalier dans ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ : or celles-ci forment une partie dense de ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ , dont l'orthogonal est alors nul. Ainsi, l'ensemble des valeurs propres de ${\displaystyle V^{*}V}$ est exactement ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ . Il s'ensuit que ${\displaystyle |\!|\!|V^{*}V|\!|\!|=\max \limits _{n\in \mathbb {N} }|\lambda _{n}|=\lambda _{0}=4/\pi ^{2}}$ car ${\displaystyle V^{*}V}$ est symétrique. Finalement, $${\displaystyle |\!|\!|V|\!|\!|={\sqrt {\rho (V^{*}V)}}={\sqrt {|\!|\!|V^{*}V|\!|\!|}}={\sqrt {\frac {4}{\pi ^{2}}}}={\frac {2}{\pi }}.}$$

En effet, ${\displaystyle V}$ est injectif car ${\displaystyle \mathrm {Ker} (V)=\left\{f\in E\ \left|\ \forall x\in [0,1],\displaystyle {\int _{0}^{x}}f(t)~\mathrm {d} t=0\right.\right\}=\{0\}}$ (si ${\displaystyle f\in \mathrm {Ker} (V)}$ , alors la primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle [0,1]}$ qui s'annule en ${\displaystyle 0}$ est nulle, donc ${\displaystyle f=0}$ ), mais ${\displaystyle V}$ n'est pas surjectif car si ${\displaystyle g\in \mathrm {Im} (V)}$ , alors il existe ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ telle que ${\displaystyle \forall x\in [0,1],\ g(x)=\displaystyle {\int _{0}^{x}}f(t)~\mathrm {d} t}$ , et donc ${\displaystyle g}$ est dérivable, donc l'image de ${\displaystyle V}$ est contenue dans l'ensemble des fonctions dérivables sur ${\displaystyle [0,1]}$ , qui est un sous-ensemble strict de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ . Finalement, ${\displaystyle 0\in \sigma (V)}$ et ${\displaystyle 0}$ n'est pas une valeur propre de ${\displaystyle V}$ .

Ensuite, pour tous ${\displaystyle f\in C^{0}([0,1])}$ et ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}(f)(x)&=V[V(f)](x)=\int _{0}^{x}V(f)(t)~\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} t\\&=\left[-(x-t)\int _{0}^{x}f(s)~\mathrm {d} s\right]_{t=0}^{t=x}+\int _{0}^{x}(x-t)f(t)~\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}(x-t)f(t)~\mathrm {d} t\end{aligned}}}$$

Pas une récurrence immédiate, on montre que pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , ${\displaystyle V^{n}(f)(x)=\int _{0}^{x}{\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}f(t)~\mathrm {d} t}$ et donc :$${\displaystyle |V^{n}(f)(x)|\leq \int _{0}^{x}{\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}|f(t)|~\mathrm {d} t\leq {\frac {\|f\|_{\infty }}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}~\mathrm {d} t={\frac {1}{n!}}\|f\|_{\infty }.}$$

Par conséquent, ${\displaystyle |\!|\!|V^{n}|\!|\!|\leq {\frac {1}{n!}}}$ , puis ${\displaystyle \rho (V)=\lim \limits _{n\to +\infty }|\!|\!|V^{n}|\!|\!|^{1/n}=0}$ . Comme pour tout ${\displaystyle \forall \lambda \in \sigma (V),\ |\lambda |\leq \rho (V)}$ , on en déduit que ${\displaystyle \sigma (V)=\{0\}}$ , a fortiori ${\displaystyle V}$ n'a pas de valeurs propres puisque celles-ci sont contenues dans ${\displaystyle \sigma (V)}$ .