Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares editar
As funcións trigonométricas s e n ( t ) {\displaystyle sen(t)} e c o s ( t ) {\displaystyle cos(t)} poden ser as coordenadas cartesianas ( x , e ) {\displaystyle (x,e)} dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns , comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:
{ x ( t ) = cos t y ( t ) = sin t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cos t\\y(t)=\sin t\end{matrix}}\right.} Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.
Animación da representación do seno hiperbólico. De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas ( x , e ) {\displaystyle (x,e)} dun punto P da hipérbole equilátera , centrada na orixe, cuxa ecuación é
x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1} onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X , e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:
{ x ( t ) = cosh t y ( t ) = sinh t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cosh t\\y(t)=\sinh t\end{matrix}}\right.} Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:
x ( t ) = e t + e − t 2 {\displaystyle \ x(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}} y ( t ) = e t − e − t 2 {\displaystyle \ y(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}} dado que
( e t + e − t 2 ) 2 − ( e t − e − t 2 ) 2 = 1 {\displaystyle \ \left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=1} De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:
cosh ( t ) = e t + e − t 2 {\displaystyle \ \cosh(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}} sinh ( t ) = e t − e − t 2 {\displaystyle \ \sinh(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}} Relacións trigonométricas con argumentos complexos editar As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos :
Seno Hiperbólico:[ 2] sinh x = − i sin ( i x ) . {\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).} Coseno Hiperbólico:[ 2] cosh x = cos ( i x ) . {\displaystyle \cosh x=\cos(ix).} Tanxente Hiperbólica: tanh x = − i tan ( i x ) . {\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).} Cotanxente Hiperbólica: coth x = i cot ( i x ) . {\displaystyle \coth x=i\cot(ix).} Secante Hiperbólica: sech x = sec ( i x ) . {\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).} Cosecante Hiperbólica: csch x = i csc ( i x ) . {\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).} onde i é a unidade imaxinaria con i 2 = −1 .
As definicións anteriores están relacionadas coas definicións exponenciais vía Fórmula de Euler
Inversas das funcións hiperbólicas e derivadas editar
As funcións recíprocas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:[ 4]
arg sinh ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 ) d d x ( arg sinh ( x ) ) = 1 x 2 + 1 arg cosh ( x ) = ln ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 d d x ( arg cosh(x) ) = 1 x 2 − 1 ; x > 1 arg tanh ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) ; | x | < 1 d d x ( arg tanh(x) ) = 1 1 − x 2 ; | x | < 1 arg coth ( x ) = 1 2 ln ( x + 1 x − 1 ) ; | x | > 1 d d x ( arg coth(x) ) = 1 1 − x 2 ; | x | > 1 arg sech ( x ) = ln ( 1 x + 1 − x 2 x ) ; 0 < x ≤ 1 d d x ( arg sech(x) ) = − 1 x 1 − x 2 ; 0 < x < 1 arg csch ( x ) = ln ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) ; x ≠ 0 d d x ( arg csch(x) ) = − 1 | x | 1 + x 2 ; x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{arg sinh}}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sinh}}(x))&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\mbox{arg cosh}}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg cosh(x)}})&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}};x>1\\{\mbox{arg tanh}}(x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg tanh(x)}})&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|<1\\{\mbox{arg coth}}(x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg coth(x)}})&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|>1\\{\mbox{arg sech}}(x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sech(x)}})&={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}};0<x<1\\{\mbox{arg csch}}(x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg csch(x)}})&={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}};x\neq 0\end{aligned}}} As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:
arg sinh ( x ) = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + ⋯ = {\displaystyle {\mbox{arg sinh}}(x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =} arg sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) , | x | < 1 {\displaystyle {\mbox{arg sinh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1} arg cosh ( x ) = ln 2 x − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + ⋯ ) = {\displaystyle {\mbox{arg cosh}}(x)=\ln 2x-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=} arg cosh ( x ) = ln 2 x − ∑ n = 1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n ( 2 n ) , x > 1 {\displaystyle {\mbox{arg cosh}}(x)=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1} arg tanh ( x ) = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + ⋯ = {\displaystyle {\mbox{arg tanh}}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =} arg tanh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) , | x | < 1 {\displaystyle {\mbox{arg tanh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1} arg csch ( x ) = arg sinh ( x − 1 ) = x − 1 − ( 1 2 ) x − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 7 7 + ⋯ = {\displaystyle {\mbox{arg csch}}(x)={\mbox{arg sinh}}(x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =} arg csch ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , | x | > 1 {\displaystyle {\mbox{arg csch}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1} arg sech ( x ) = arg cosh ( x − 1 ) = ln 2 − ( ( 1 2 ) x 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 6 6 + ⋯ ) = {\displaystyle {\mbox{arg sech}}(x)={\mbox{arg cosh}}(x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=} arg sech ( x ) = ln 2 − ∑ n = 1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n ( 2 n ) , 0 < x ≤ 1 {\displaystyle {\mbox{arg sech}}(x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1} arg coth ( x ) = arg tanh ( x − 1 ) = x − 1 + x − 3 3 + x − 5 5 + x − 7 7 + ⋯ = {\displaystyle {\mbox{arg coth}}(x)={\mbox{arg tanh}}(x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =} arg coth ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , | x | > 1 {\displaystyle {\mbox{arg coth}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1} Relación coa función exponencial editar Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:
e x = cosh x + sinh x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!} e
e − x = cosh x − sinh x . {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!} Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.
↑ Cálculo de Granville ↑ 2,0 2,1 Erro no código da cita: Etiqueta <ref>
non válida; non se forneceu texto para as referencias de nome :1
↑ Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes . Mir. ↑ Cálculo con Geometría Analítica . Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. ISBN 0-13-111807-2 .