מחלקה (תורת החבורות)
ערך מחפש מקורות | |
בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה היא קבוצה של איברי חבורה אשר מתקבלת מהכפלת אברי באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה מהווה חלוקה של לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה בחבורה נקרא האינדקס של ב-, ומסומן . אם סופית, אינדקס זה שווה ל-.
חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה ותת-החבורה שלה. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא , והוא אינו סגור לכפל.
הגדרה פורמלית
עריכהתהא חבורה ותהא
תת-חבורה שלה. יהא
איבר כלשהו, אז הקבוצה
תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של
ב-
, והקבוצה
תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של
ב-
.
תכונות
עריכהקל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה , המחלקות (מאותו צד) של
מהוות חלוקה של
לקבוצות זרות.
- הוכחה: אם
אז לפי הגדרה קיימים
כך ש-
ולכן
. מכיוון ש-
, נובע ש-
, ולכן
. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של
מהוות חלוקה של
. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.
בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה שווה למספר האיברים ב-
. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.
נורמליות
עריכהאם לתת חבורה מסוימת מתקיים
, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.
דוגמה
עריכהניקח את החבורה , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור.
היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:
. נציגים לדוגמה מהמחלקה
הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה
הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.