עבור n {\displaystyle n} משתנים מקריים X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} נסמן ב- T {\displaystyle T} את הטווח שלהם, שמוגדר ע"י,
T = M a x ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) − M i n ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) {\displaystyle T=Max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-Min(X_{1},X_{2},...,X_{n})} .
מאחר שהמקסימום הוא סטטיסטי הסדר ה- n {\displaystyle n} והמינימום הוא סטטיסטי הסדר ה-1 ניתן לכתוב באופן שקול בקצרה, T = X ( n ) − X ( 1 ) {\textstyle T=X_{(n)}-X_{(1)}} .
עבור n {\displaystyle n} משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים ושווי התפלגות X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} עם פונקציית התפלגות רציפה בהחלט F ( x ) {\displaystyle F(x)} ופונקציית צפיפות f ( x ) {\displaystyle f(x)}
לטווח T {\displaystyle T} , יש את פונקציית ההתפלגות,
F T ( t ) = n ∫ − ∞ ∞ f ( x ) [ F ( x + t ) − F ( x ) ] n − 1 d x {\textstyle F_{T}(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)[F(x+t)-F(x)]^{n-1}{\text{d}}x} .
אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות, f T ( t ) = n ( n − 1 ) ∫ − ∞ ∞ f ( x ) f ( x + t ) [ F ( x + t ) − F ( x ) ] n − 2 d x {\displaystyle f_{T}(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x} תוחלת הטווח ניתנת על ידי על ידי
E [ T ] = n ∫ − ∞ ∞ x [ F ( x ) n − 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] f ( x ) d x {\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x} .נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה- n {\displaystyle n} ) לבין המינימום (סטטיסטי הסדר ה-1) ולכן גם התוחלת של הטווח היא ההפרש בין התוחלות של המקסימום והמינימום.
E [ T ] = E [ X ( n ) − X ( 1 ) ] = E [ X ( n ) ] − E [ X ( 1 ) ] {\displaystyle E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)}]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)}]}
= n ∫ − ∞ ∞ f ( x ) F ( x ) n − 1 d x − n ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ( 1 − F ( x ) ) n − 1 d x {\displaystyle =n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)F(x)^{n-1}dx-n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(1-F(x))^{n-1}dx}
מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים.
כאשר פונקציית הצפיפות f {\displaystyle f} דועכת מספיק מהר בזנבות ההתפלגות, כלומר מקיימת lim x → ∞ x 2 f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(x)=0} וגם lim x → ∞ x 2 f ( − x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(-x)=0} , אז מתקיים,
E [ T ] = ∫ − ∞ ∞ [ 1 − F ( x ) n − ( 1 − F ( x ) ) n ] d x {\displaystyle E[T]=\int _{-\infty }^{\infty }\left[1-F(x)^{n}-(1-F(x))^{n}\right]{\text{d}}x}
הראינו כי
E [ T ] = n ∫ − ∞ ∞ x [ F ( x ) n − 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] f ( x ) d x {\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}
מההגדרה של אינטגרל לא אמיתי ,
= lim u → ∞ n ∫ − u u x [ F ( x ) n − 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] f ( x ) d x {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n\int _{-u}^{u}x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}
אינטגרציה בחלקים ,
= lim u → ∞ [ x [ F ( x ) n + ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] ] − u u − lim u → ∞ ∫ − u u [ F ( x ) n + ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] d x {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}-\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{-u}^{u}[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]{\text{d}}x}
נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת,
lim u → ∞ [ x [ F ( x ) n + ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] ] − u u {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}}
= lim u → ∞ u [ F ( u ) n + ( 1 − F ( u ) ) n − 1 ] + u [ F ( − u ) n + ( 1 − F ( − u ) ) n − 1 ] {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u[F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}-1]+u[F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}-1]}
= lim u → ∞ u ( F ( u ) n + ( 1 − F ( u ) ) n + F ( − u ) n + ( 1 − F ( − u ) ) n ) {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u\left(F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}\right)}
= lim u → ∞ F ( u ) n + ( 1 − F ( u ) ) n + F ( − u ) n + ( 1 − F ( − u ) ) n 1 / u {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }{\frac {F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}}{1/u}}}
נפעיל את כלל לופיטל ,
= lim u → ∞ n f ( u ) [ F ( u ) n − 1 − ( 1 − F ( u ) ) n − 1 ] + f ( − u ) [ F ( − u ) n − 1 − ( 1 − F ( − u ) ) n − 1 ] − 1 / u 2 {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n{\frac {f(u)\left[F(u)^{n-1}-(1-F(u))^{n-1}\right]+f(-u)\left[F(-u)^{n-1}-(1-F(-u))^{n-1}\right]}{-1/u^{2}}}}
על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות, lim u → ∞ F ( u ) = 1 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }F(u)=1} ו- lim u → ∞ F ( − u ) = 0 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }F(-u)=0} , ועל סמך הנתון כי lim u → ∞ u 2 f ( u ) = 0 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(u)=0} ו- lim u → ∞ u 2 f ( − u ) = 0 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(-u)=0} נקבל את התוצאה המבוקשת,
= lim u → ∞ n u 2 f ( u ) [ ( 1 − F ( u ) ) n − 1 − F ( u ) n − 1 ] + lim u → ∞ n u 2 f ( − u ) [ ( 1 − F ( − u ) ) n − 1 − F ( − u ) n − 1 ] = 0 {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(u)\left[(1-F(u))^{n-1}-F(u)^{n-1}\right]+\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(-u)\left[(1-F(-u))^{n-1}-F(-u)^{n-1}\right]=0}
עבור n {\displaystyle n} משתנים אקראיים X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} עם פונקציות התפלגות רציפות בהחלט, F 1 ( x ) , F 2 ( X ) , . . . , F n ( X ) {\displaystyle F_{1}(x),F_{2}(X),...,F_{n}(X)}
ופונקציות צפיפות f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) {\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)} , לטווח T {\displaystyle T} יש פונקציית ההתפלגות:
F T ( t ) = ∑ i = 1 n ∫ − ∞ ∞ f i ( x ) ∏ j = 1 , j ≠ i n [ F j ( x + t ) − F j ( x ) ] d x {\displaystyle F_{T}(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[F_{j}(x+t)-F_{j}(x)]\,{\text{d}}x}