Lipschitz-tulajdonság
Azt mondjuk, hogy az valós-valós függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (vagy Lipschitz-folytonos, vagy a matematikus argóban lipschitzes), ha létezik olyan nemnegatív valós szám, amelyre az függvény értelmezési tartományában lévő minden és pontra fennáll az
egyenlőtlenség.
Lényegében ez azt jelenti, hogy a függvény görbéjének két tetszőleges pontjához húzott szelő nem lehet akármilyen nagy meredekségű, csak és közötti érték. A függvény tehát nem változhat akármilyen nagyot.
A differenciálegyenletek elméletében a Lipschitz-folytonosság a központi feltétel a Picard–Lindelöf-tételhez, mely a kezdetiérték-probléma megoldásának egyértelmű létezését biztosítja. Egy speciális típusú lipschitzesség, a kontrakció tulajdonsága fontos szerepet játszik Banach fixponttételében. A Riemann-integrál elméletében az integrálfüggvény karakterisztikus tulajdonságai közül az egyik, hogy az integrálfüggvény Lipschitz-függvény.[forrás?]
A Lipschitz-tulajdonság definiálható mind a normált, mind a metrikus terekben. A Lipschitz-függvények elsőrendű Hölder-függvények, így a Hölder-folytonosság a fogalom egy általánosításának tekinthető.
Tulajdonságok
szerkesztésMinden korlátos deriváltú, differenciálható függvény Lipschitz-függvény ( alkalmas Lipschitz-konstansnak).
Minden Lipschitz-tulajdonságú függvény egyenletesen folytonos (így tehát folytonos is), hiszen tetszőleges
pozitív számra a
olyan, hogy ha
, akkor:
.
Visszafelé ez nem igaz. A intervallumon értelmezett
függvény ugyanis egyenletesen folytonos Heine-tétel értelmében, de nem lipschitzes, mert a deriváltja – így a szelők meredeksége – akármilyen nagy lehet.
Injektív minden bilipschitzes függvény, azaz olyan függvény, melyre teljesül, hogy létezik szám, amivel:
.
Hiszen ha , és
mégis egyenlő
-nal, akkor az egyenlőtlenség miatt
és ezt csak az
tudja kielégíteni, ami ellentmondás.
Kompakt halmazon értelmezett lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény (globálisan) Lipschitz-tulajdonságú. (Itt lokálisan lipschitzességen azt értjük, hogy minden pontnak van olyan környezete, ahol a függvény lipschitzes.)
Ha az egy
Lipschitz-konstansú függvény a (metrikus-, normált-)tér egy részhalmazán van értelmezve, akkor
kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy a kiterjesztés még mindig
Lipschitz-konstansú legyen. Speciálisan az
értelmezési tartományának lezártjára is kiterjeszthető, ahogy az egyenletesen folytonos függvényekre vonatkozó hasonló tételben is ez történik.
Lebesgue tétele szerint minden intervallumon értelmezett valós-valós Lipschitz-függvény majdnem mindenhol differenciálható. Ennek egy általánosítása, hogy tetszőleges, nyílt halmazon értelmezett többváltozós, valós értékű függvény szintén majdnem mindenhol differenciálható – ez Rademacher tétele.
Irodalom
szerkesztésLaczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis 1., ELTE jegyzet