Primoriális

Ha az n-edik prímszámot p_n-nel jelöljük, akkor a p_n# primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg:^[1][2]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

ahol p_k a k-adik prímszám.

Például p₅# az első 5 prímszám szorzatát jelzi:

${\displaystyle p_{5}\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}$ .

Az első hat p_n# primoriális:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (A002110 sorozat az OEIS-ben).

A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p₀# = 1 értéket is.

Aszimptotikusan a p_n# primoriálisok a

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}}$ képlet szerint nőnek,

ahol ${\displaystyle o(\cdot )}$ a kis ordó jelölés.^[2]

Általánosságban, pozitív n egészekre is definiálható az n# primoriális, méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként:^[1][3]

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

ahol ${\displaystyle \pi (n)}$ a prímszámláló függvény (A000720 sorozat az OEIS-ben), ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg.

Ami ekvivalens a következővel:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{ha }}n>1\ \And \ n{\text{ prímszám}}\\(n-1)\#&{\text{ha }}n>1\ \And \ n{\text{ összetett szám}}.\end{cases}}}$

Például a 12# a 12-nél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Mivel ${\displaystyle \scriptstyle \pi (12)=5}$ , ez a következőképp is számítható:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Tekintsük az első 12 n# primoriálist:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vegyük észre, hogy összetett n-ekre az n# egyszerűen megismétli a megelőző értéket (n − 1)#, a definíció szerint. A fenti példában 12# = p₅# = 11#, mivel 12 összetett szám.

Az első Csebisev-függvény – ${\displaystyle \theta (n)}$ vagy ${\displaystyle \vartheta (n)}$ , ami az n# természetes alapú logaritmusát határozza meg, nagy n értékekre a lineáris n függvényt közelíti.^[4]

Tehát:

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n.}$

Az elgondolás, hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is, ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését.

A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében. Például a 2236133941 + 23# egy olyan prímszámot ad, ami egy 13, egymástól 23#-ra lévő prímszámból áll és 5136341251-ra végződik. A 15 és 16 tagú számtani prímsorozatok között is gyakran 23# a differencia.

Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzatával áll elő (pl. 360 = 2·6·30).^[5]

A primoriálisok négyzetmentesek, mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál. Minden n primoriálisra a ${\displaystyle \phi (n)/n}$ tört kisebb, mint bármely nála kisebb egész esetében, ahol ${\displaystyle \phi }$ az Euler-függvényt jelenti.

Bármely teljesen multiplikatív függvényt meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei, hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt, ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható.

A primoriális szám-alapú számrendszerek (nem összetévesztendő a primoriális számrendszerrel jellemzője, hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő, mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben.

Minden primoriális ritkán tóciens szám.^[6]

Minden primoriális praktikus szám.

A Riemann-féle zéta-függvény 1-nél nagyobb pozitív egésze kifejezhető^[7] a primoriálisok és a ${\displaystyle J_{k}(n)}$ Jordan-függvény segítségével:

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

• Bonse-egyenlőtlenség
• Primoriálisprím
• Faktoriális számrendszer

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primorial című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• (1987) „Factorial and primorial primes”. J. Recr. Math. 19, 197–203. o.