Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc.Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedontérfogatával. Ha a három tényező ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, akkor az előjel pozitív; ha balrendszert, akkor negatív.
A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetesmátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz
A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata. A vektorok által kifeszített tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának hatoda.
A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint
Ebből következik, hogy
Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.
Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.
Ha egy vektoriális szorzatot megszorzunk még egy vektorral, akkor hármas vektoriális szorzatot kapunk.[1] A Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele szerint:[2][3]
illetve
ahol a szorzópontok a skaláris szorzatot jelölik. A fizikában gyakran az
írásmódot használják, és gyakran BAC-CAB-formulának nevezik. Indexes írásmóddal:
mivel a transzponálás nem változtatja meg a determinánst, másrészt a determinánsok szorzástétele miatt mátrixok szorzásakor a szorzatmátrix determinánsa a determinánsok szorzata. Ha a két vektorhármas megegyezik:
és így a Gram-determináns pozitív definit. Ahogy az egyszeres vegyes szorzatnál, úgy ennél is ez a determináns kritérium a tényezők lineáris függetlenségére. A determináns megadja a paralelepipedon térfogatának négyzetét. Ha egy lineáris transzformáció egy paralelepipedont egy másikra képez, akkor a Gram-determináns megadja, hogy hányszorosára változott a térfogatuk. A Gram-determinánsos kifejezés előnye, hogy magasabb dimenziókra is általánosítható.[4]
A térfogati integrál térfogateleme függ az alkalmazott koordináta-rendszertől. Descartes-féle koordinátákban:
.
Egy másik koordináta-rendszerben, ahol a koordináták , a helyi bázisvektorok vegyes szorzataként számítható. Az és bázisvektorok az adott pontban a koordinátavonalak érintővektorai, melyek a következő koordinátatranszformációból adódnak:
az koordináták szerinti parciális deriváltjaként:
.
Egy bázisvektor koordinátái alkotják a Jacobi-mátrix egyik oszlopát. Így e három vektor vegyes szorzatát a funkcionáldetermináns adja meg.
↑Wolfgang Werner. Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Wiesbaden: Springer Vieweg Verlag, 70. o. (2019)
Ez a szócikk részben vagy egészben a Spatprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!