Batas (topologi)
Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan dari ruang topologis merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari dan dari luar . Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan bukan merupakan milik interior . Sebuah unsur dari batas disebut titik batas , dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan di antaranya , , dan .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Runge_theorem.svg/220px-Runge_theorem.svg.png)
Definisi umum
suntingAda beberapa definisi yang ekuivalen mengenai batas himpunan bagian dari ruang topologis
yang dapat dilambangkan sebagai
atau cukup ditulis
:
- Batas himpunan merupakan ketertutupan
dikurangi interior
:
dengan
menyatakan ketertutupan
di
, dan
menyatakan interior topologis
di
.
- Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan
dengan ketertutupan komplemen:
- Batas himpunan merupakan himpunan titik
sehingga setiap lingkungan
memuat setidaknya satu titik
dan setidaknya satu titik yang bukan
:
Contoh-contoh
sunting![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Mandelbrot_Components.svg/220px-Mandelbrot_Components.svg.png)
Tinjau garis real dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan
merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di
kosong). Maka
Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk batas dari subhimpunan
, memuat subhimpunan terbuka takkosong dari
. Dalam artian untuk interior
di
adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi, batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.
Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang ), batas dari
adalah kosong, dimana
bilangan irasional.
Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada , maka batas cakram tertutup
merupakan lingkaran sekeliling cakram:
. Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di
dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu
, maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri:
. Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang
), maka batas cakramnya kosong.
Sifat-sifat
suntingKetertutupan dari himpunan sama dengan gabungan dari himpunan dengan batas himpunan
:
dengan
menyatakan ketertutupan
di
. Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat batas himpunan
, dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari batas himpunan
. Batas himpunannya adalah tertutup,[1] yang diikuti dari rumus
. Notasi
merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup
("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan maka setiap titik
, tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu
dan
Ketiga himpunan (yaitu dan
) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong,[note 1] maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari
Sebuah titik merupakan titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga
memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan. Batas interior himpunan yang juga merupakan batas dari ketertutupan himpunan memuat di batas himpunan.
Batas dari sebuah batas
suntingUntuk suatu himpunan ,
, dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas
tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika
baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup,
untuk suatu himpunan
. Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.
Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)
Lihat pula
sunting- Lihat diskusi batas di manifold topologis untuk lebih lanjut
- Batas manifold
- Titik pembatas – konsep matematis yang berkaitan dengan himpunan bagian ruang vektor
- Ketertutupan (topologi)
- Eksterior (topologi) – himpunan bagian buka terbesar yang dengan adanya "diluar" himpunan bagian
- Interior (topologi)
- Himpunan rapat tak di mana-mana
- Teorema kerapatan Lebesgue, untuk pencirian ukuran teoretik dan sifat-sifat batas.
- Permukaan (topologi) – manifold berdimensi dua
Catatan
suntingReferensi
sunting- ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (edisi ke-Third). Dover. hlm. 86. ISBN 0-486-66352-3.
Corollary 4.15 For each subset
is closed.
Bacaan lebih lanjut
sunting- Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Willard, S. (1970). General Topology
. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
- van den Dries, L. (1998). Tame Topology. ISBN 978-0521598385.