Successione di Cauchy
In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola , da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.
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Definizione
modificaSi definisce successione di Cauchy una successione a valori in uno spazio metrico
tale che per qualunque
si verifica:[1]
La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio tra i due elementi della successione tende a annullarsi.
Ogni successione convergente in è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente
:
si ha di conseguenza:
Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico hanno un limite in
, allora
viene chiamato spazio metrico completo.[2]Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo.Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.
Ogni successione di Cauchy è limitata; e se una successione di Cauchy tende a un limite ogni sua sottosuccessione tende a
.
Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy
modificaSi dice diametro di un certo insieme in uno spazio metrico
l'estremo superiore:
e si indica con:
in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.
Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy
modificaSia una successione di Cauchy in
. Allora
è limitata in
.
Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni esiste
tale che:
e dunque esiste che soddisfa:
da cui:
Sia:
Allora:
Perciò è limitata.
Teorema dell'implicazione dalla convergenza
modificaSia convergente. Allora
è una successione di Cauchy.
Infatti, per definizione di convergenza, per ogni si può trovare
tale che esiste
che soddisfa:
Dunque esiste un indice di successione per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha
Per cui il teorema è dimostrato.
Teorema della convergenza in spazi metrici
modificaSia , con
compatto e
una successione di Cauchy in
. Allora
converge a qualche punto di
.
Infatti, sia, come da enunciato, una successione di Cauchy. Per ogni
numero naturale, si costruisca
nel seguente modo:
dove è la chiusura di
(unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:
Inoltre:
che implica:
e quindi esiste un unico tale che
per ogni
. A questo punto, per ogni
esiste
tale per cui:
da cui:
che implica:
il che significa , ovvero la successione converge.
Teorema della completezza di Rk
modificaUno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ogni successione di Cauchy converge.
Infatti, presa una successione di Cauchy a valori in
, sia come per il teorema precedente:
Allora è possibile costruire per qualche un
tale che
. Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme
, e dall'altra c'è
. Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in
ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di
.
Numeri razionali e numeri reali
modificaNon tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione
dove sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica
, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.
Note
modifica- ^ Reed, Simon, Pag. 5.
- ^ Reed, Simon, Pag. 6.
Bibliografia
modifica- (EN) Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2nd ed., San Diego, California, Academic Press, 1980, ISBN 0-12-585050-6.
- (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, New York, McGraw-Hill, Inc., 1953, ISBN 88-386-0647-1.
Voci correlate
modificaAltri progetti
modificaWikiversità contiene risorse sulla successione di Cauchy
Collegamenti esterni
modifica- (EN) Cauchy sequence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Successione di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Successione di Cauchy, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- (EN) Cauchy sequence, in Free On-line Dictionary of Computing, Denis Howe. Disponibile con licenza GFDL