真凸函数
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数学の解析学(特に、凸解析)と数理最適化の分野において、真凸函数(しんとつかんすう、英: proper convex function)とは、拡大実数に値を取る凸函数 f で、少なくとも一つの x に対して
が成立し、すべての x に対して
が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その有効領域が空でなく、値として を取ることがないことを言う[1]。真でない凸函数は広義凸函数(improper convex function)と呼ばれる[2]。
真凹函数とは、 が真凸函数であるような任意の函数 g のことを言う。
性質
編集Rn 上のすべての真凸函数 f に対し、ある Rn 内の b と R 内の β が存在して
がすべての x について成立する。
二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合 と がベクトル空間 X 内の空でない凸集合であるなら、指示函数 と は真凸函数であるが、 であるなら は恒等的に に等しい。
参考文献
編集- ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 24. ISBN 978-0-691-01586-6
- ^ Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications, 6, North-Holland, p. 168, ISBN 9780080875279.