기하적 대수학에서는 기하적 곱 (geometric product)이 임의의 벡터 a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }
결합법칙: ( a b ) c = a ( b c ) {\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \mathbf {c} )} 왼쪽 분배법칙 : a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} } 오른쪽 분배법칙 : ( a + b ) c = a c + b c {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} } 축약 : a a = a 2 = | a | 2 {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{2}=|\mathbf {a} |^{2}} 여기서 | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} a {\displaystyle \mathbf {a} }
기하적 곱으로부터 두가지 곱을 정의할 수 있는데, 하나는 대칭적(symmetric)인 내적으로 다음과 같다.
a ⋅ b = 1 2 ( a b + b a ) = b ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} } 이 내적은 다음 식에서 우항들의 축약성을 이용하면 스칼라임을 보일 수 있다.
a ⋅ b = 1 2 ( ( a + b ) 2 − a 2 − b 2 ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2})} 보통, 이 내적은 통상적인 유클리드 공간에서의 내적과 동일시 된다.
다른 하나는 반대칭적(anti-symmetric)인 쐐기곱으로 다음과 같다.
a ∧ b = 1 2 ( a b − b a ) = − b ∧ a {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} )=-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} } 이 쐐기곱으로 만들어진 a ∧ b {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }
a 1 ∧ a 2 ∧ ⋯ ∧ a r = 1 r ! ∑ σ ∈ S r sgn ( σ ) a σ ( 1 ) a σ ( 2 ) ⋯ a σ ( r ) , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{r}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )\mathbf {a} _{\sigma (1)}\mathbf {a} _{\sigma (2)}\cdots \mathbf {a} _{\sigma (r)},} 여기서 합은 모든 순열 에 대해 행해지며, sgn ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}
기하적 곱은 이와 같은 내적과 쐐기곱의 합성으로 주어질 수 있다.
a b = a ⋅ b + a ∧ b {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }
3차원 공간에서 벡터인 전기장 E → {\displaystyle {\vec {E}}} B → → {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}} e → 1 , e → 2 , e → 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}} E → {\displaystyle {\vec {E}}} B → → {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}}
E → = E 1 e → 1 + E 2 e → 2 + E 3 e → 3 {\displaystyle {\vec {E}}=E_{1}{\vec {e}}_{1}+E_{2}{\vec {e}}_{2}+E_{3}{\vec {e}}_{3}} B → → = B 12 e → 1 ∧ e → 2 + B 23 e → 2 ∧ e → 3 + B 31 e → 3 ∧ e → 1 {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=B_{12}{\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}+B_{23}{\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}+B_{31}{\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}} 표준기저를 이루는 서로 다른 벡터 간의 내적은 0이므로, a ≠ b {\displaystyle a\neq b} a , b {\displaystyle a,b} e → a ∧ e → b = e → a e → b {\displaystyle {\vec {e}}_{a}\wedge {\vec {e}}_{b}={\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{b}}
B → → = B 12 e → 1 e → 2 + B 23 e → 2 e → 3 + B 31 e → 3 e → 1 {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=B_{12}{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}+B_{23}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}+B_{31}{\vec {e}}_{3}{\vec {e}}_{1}} 또한 a = 1 , 2 , 3 {\displaystyle a=1,2,3} a {\displaystyle a} 1 = e → a ⋅ e → a = e → a e → a {\displaystyle 1={\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{a}={\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{a}} a ≠ b {\displaystyle a\neq b} a , b {\displaystyle a,b} e → a e → b = e → a ∧ e → b = − e → b ∧ e → a = − e → b e → a {\displaystyle {\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{b}={\vec {e}}_{a}\wedge {\vec {e}}_{b}=-{\vec {e}}_{b}\wedge {\vec {e}}_{a}=-{\vec {e}}_{b}{\vec {e}}_{a}}
B → → = e → 1 e → 2 e → 3 ( B 12 e → 3 + B 23 e → 1 + B 31 e → 2 ) {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}={\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}(B_{12}{\vec {e}}_{3}+B_{23}{\vec {e}}_{1}+B_{31}{\vec {e}}_{2})} 보통 e → 1 e → 2 e → 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}} i {\displaystyle i} I {\displaystyle {\mathit {I}}} B 23 = B 1 ′ {\displaystyle B_{23}=B'_{1}} B 31 = B 2 ′ {\displaystyle B_{31}=B'_{2}} B 12 = B 3 ′ {\displaystyle B_{12}=B'_{3}} B → ′ {\displaystyle {\vec {B}}'}
B → → = i B → ′ {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=i{\vec {B}}'} 가 된다. 이중벡터 B → → {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}} B → ′ {\displaystyle {\vec {B}}'} F {\displaystyle {\mathit {F}}}
F = E / c + ( i B ) {\displaystyle {\mathit {F}}=\mathbf {E} /c+(i\mathbf {B} )} 여기서 c는 빛의 속도이다. 멀티벡터는 기하적 대수학에서 다루는 수학적 개체로, 보통은 더해지지 않는 스칼라, 벡터 등의 서로 다른 텐서들의 합으로 주어지는 개체이다.
상대론 적으로 다루는 4차원 벡터는 기하적 대수에서 다음과 같이 주어진다.
v = ( v 0 + v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) e 0 {\displaystyle v=(v_{0}+v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})e_{0}} 여기서 e 0 {\displaystyle e_{0}} e 0 ⋅ e 0 = 1 {\displaystyle e_{0}\cdot e_{0}=1} a = 1 , 2 , 3 {\displaystyle a=1,2,3} a {\displaystyle a} e 0 ⋅ e a = 0 {\displaystyle {e}_{0}\cdot \mathbf {e} _{a}=0}
기하적 대수학에서 멕스웰 방정식에 해당하는 표현은 ◻ F = μ 0 J {\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\mu _{0}J} ◻ {\displaystyle \Box } F {\displaystyle {\mathit {F}}}
◻ F = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) e 0 ( E / c + i B ) {\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)e_{0}(\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )} e 0 e a = − e a e 0 {\displaystyle {e}_{0}\mathbf {e} _{a}=-\mathbf {e} _{a}{e}_{0}} e 0 i = e 0 e 1 e 2 e 3 = − e 1 e 2 e 3 e 0 = − i e 0 {\displaystyle {e}_{0}i={e}_{0}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}{e}_{0}=-i{e}_{0}}
◻ F = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) ( − E / c + i B ) e 0 {\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)(-\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )e_{0}} 그러므로 식은 시간에 대한 미분 부분과 공간에 대한 미분 부분으로 나눠지는데, 공간에 대한 미분 부분 중 전기장에 대한 미분 부분은 다음과 같다.
∇ E = ∇ ⋅ E + ∇ ∧ E {\displaystyle \mathbf {\nabla } \mathbf {E} ={\bf {{\nabla }\cdot \mathbf {E} +\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {E} }}} 여기서 ∇ ∧ E {\displaystyle \mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {E} }
∇ E = ∇ ⋅ E + i ∇ × E {\displaystyle \mathbf {\nabla } \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} +i\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} } 그러므로 ◻ F {\displaystyle \Box {\mathit {F}}}
[ ( ∇ ⋅ E / c + ( ∇ × B − 1 c 2 ∂ E ∂ t ) ) − i ( ∇ ⋅ B − ( ∇ × E / c + 1 c ∂ ( B ) ∂ t ) ) ] e 0 {\displaystyle \left[\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} /c+\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)-i\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} -\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} /c+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {B} )}{\partial t}}\right)\right)\right]e_{0}} 가 되고, 보통 벡터미적분으로 기술하는 맥스웰 방정식 을 대입하면
( ρ ϵ 0 c + μ 0 J ) e 0 = μ 0 ( ρ c + J ) e 0 = μ 0 J {\displaystyle \left({\frac {\rho }{\epsilon _{0}c}}+\mu _{0}\mathbf {J} \right)e_{0}=\mu _{0}(\rho c+\mathbf {J} )e_{0}=\mu _{0}J} 가 된다.
4차원 벡터 형식을 따르는 A {\displaystyle A} ◻ {\displaystyle \Box }
◻ A = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) e 0 ( ϕ / c + A ) e 0 = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) ( ϕ / c − A ) {\displaystyle \Box A=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)e_{0}(\phi /c+\mathbf {A} )e_{0}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)(\phi /c-\mathbf {A} )} 항들을 전개하고 정리해주면,
◻ A = ( 1 c ∂ ∂ t ϕ / c + ∇ ⋅ A ) + ( − ∇ ϕ / c − 1 c ∂ ( A ) ∂ t + ∇ ∧ A ) = ( 1 c ∂ ∂ t ϕ / c + ∇ ⋅ A ) + ( E / c + i B ) {\displaystyle \Box A=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi /c+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)+\left(-\mathbf {\nabla } \phi /c-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {A} )}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} \right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi /c+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)+(\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )} 그러므로 로렌츠 게이지 를 만족한다면, ◻ A = F {\displaystyle \Box A=F} ∇ ∧ A = F {\displaystyle \nabla \wedge A=F}
파울리 행렬 은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 3차원공간의 표준기저 e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
e i e j = e i ⋅ e j + e i ∧ e j = e i ⋅ e j + i e i × e j = δ i j + i ∑ k ϵ i j k e k {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}+i\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k}} 그리고 파울리 행렬 σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}
σ i σ j = δ i j ⋅ I + i ∑ k ϵ i j k σ k {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}} [ σ i , σ j ] = 2 σ i ∧ σ j = 2 i ∑ k ϵ i j k σ k {\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2\sigma _{i}\wedge \sigma _{j}=2i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}} { σ i , σ j } = 2 σ i ⋅ σ j = 2 δ i j ⋅ I {\displaystyle \lbrace \sigma _{i},\sigma _{j}\rbrace =2\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}=2\delta _{ij}\cdot I} 그렇다면 일반적으로 양자역학에서 다루는, 파울리 벡터( σ = σ 1 x ^ + σ 2 y ^ + σ 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}} v = v 1 x ^ + v 2 y ^ + v 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}{\hat {x}}+v_{2}{\hat {y}}+v_{3}{\hat {z}}} σ ⋅ v = v 1 σ 1 + v 2 σ 2 + v 3 σ 3 {\displaystyle \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {v} =v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}} v = [ v 1 , v 2 , v 3 ] {\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]} ( v 3 v 1 − i v 2 v 1 + i v 2 − v 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{3}&v_{1}-iv_{2}\\v_{1}+iv_{2}&-v_{3}\end{pmatrix}}} ( v 3 v 1 − i v 2 v 1 + i v 2 − v 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{3}&v_{1}-iv_{2}\\v_{1}+iv_{2}&-v_{3}\end{pmatrix}}} v = [ v 1 , v 2 , v 3 ] {\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]} v , w {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }
v w = v ⋅ w + i v × w {\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +i\mathbf {v} \times \mathbf {w} } 위 식을 표준기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다.
( v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = ( v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) + i ( ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) e 1 + ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) e 2 + ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) e 3 ) {\displaystyle (v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3})=(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3})+i((v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})\mathbf {e} _{1}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})\mathbf {e} _{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})\mathbf {e} _{3})} 그러면 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 두 벡터 v , w {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }
( v 1 σ 1 + v 2 σ 2 + v 3 σ 3 ) ( w 1 σ 1 + w 2 σ 2 + w 3 σ 3 ) = ( v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) + i ( ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) σ 1 + ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) σ 2 + ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) σ 3 ) {\displaystyle (v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3})(w_{1}\sigma _{1}+w_{2}\sigma _{2}+w_{3}\sigma _{3})=(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3})+i((v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})\sigma _{1}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})\sigma _{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})\sigma _{3})} 일반적으로 양자역학에서 다루는, x ^ , y ^ , z ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}
( v ⋅ σ ) ( w ⋅ σ ) = v ⋅ w + i σ ⋅ ( v × w ) {\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\sigma } )(\mathbf {w} \cdot \mathbf {\sigma } )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +i\mathbf {\sigma } \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )} 가 된다.
이 글의 주제는 대수기하학이 아닙니다.
![{\displaystyle \left[\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} /c+\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)-i\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} -\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} /c+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {B} )}{\partial t}}\right)\right)\right]e_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc9252f904c21e94a46519de41a967773219fa7)
![{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2\sigma _{i}\wedge \sigma _{j}=2i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135383532a176901232c6070c377ea958924e21e)
