군론 과 기하학 에서 삼각군 (三角群, 영어 : triangle group )은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 군 이다.
다음이 주어졌다고 하자.
2 이상의 세 수 l , m , n ∈ { 2 , 3 , 4 , … , ∞ } {\displaystyle l,m,n\in \{2,3,4,\dotsc ,\infty \}} . ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} -삼각군 △ ( l , m , n ) {\displaystyle \triangle (l,m,n)} 은 군 이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다.
대수적으로, 삼각군은 콕서터 군 의 일종이다. 기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 테셀레이션 을 정의하는 대칭군이다. 세 정수 ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} 의 순열 을 취해도 서로 동형 인 군을 얻는다. 따라서, 보통 l ≤ m ≤ n {\displaystyle l\leq m\leq n} 인 순서로 배열한다.
( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} -삼각군 △ ( l , m , n ) {\displaystyle \triangle (l,m,n)} 은 다음과 같은 표시 를 갖는 콕서터 군 이다.
△ ( l , m , n ) = ⟨ a , b , c | a 2 = b 2 = c 2 = ( a b ) l = ( b c ) m = ( c a ) n = 1 ⟩ {\displaystyle \triangle (l,m,n)=\langle a,b,c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{m}=(ca)^{n}=1\rangle } 여기서, l {\displaystyle l} 또는 m {\displaystyle m} 또는 n {\displaystyle n} 이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어,
△ ( l , m , ∞ ) = ⟨ a , b , c | a 2 = b 2 = c 2 = ( a b ) l = ( b c ) m = 1 ⟩ {\displaystyle \triangle (l,m,\infty )=\langle a,b,c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{m}=1\rangle } 이다.
X {\displaystyle X} 를 다음과 같이 정의하자.
만약 1 / l + 1 / m + 1 / n < 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n<1} 라면, X {\displaystyle X} 는 쌍곡 평면 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} 이다. 만약 1 / l + 1 / m + 1 / n = 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n=1} 라면, X {\displaystyle X} 는 유클리드 평면 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 이다. 만약 1 / l + 1 / m + 1 / n > 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n>1} 라면, X {\displaystyle X} 는 실수 사영 평면 R P 2 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {RP} } ^{2}} 이다. 이 경우, X {\displaystyle X} 위에, 세 각이 각각 ( π / l , π / m , π / n ) {\displaystyle (\pi /l,\pi /m,\pi /n)} 라디안 인 삼각형 을 그릴 수 있다. (여기서 π / ∞ = 0 {\displaystyle \pi /\infty =0} 이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을 ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} -삼각군 이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약 1 / l + 1 / m + 1 / n = 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n=1} 라면 삼각군 △ ( l , m , n ) {\displaystyle \triangle (l,m,n)} 은 2차원 유클리드 군
IO ( 2 ; R ) = R 2 ⋊ O ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {IO} (2;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{2}\rtimes \operatorname {O} (2;\mathbb {R} )} 의 부분군 이 된다.
쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이 ( π / 2 , π / 2 , 0 ) {\displaystyle (\pi /2,\pi /2,0)} 으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어
{ ( x , y ) : x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 1 } {\displaystyle \{(x,y)\colon x\geq 0,0\leq y\leq 1\}} 이다.
폰 뒤크 군 (von Dyck群, 영어 : von Dyck group ) D ( l , m , n ) ≤ △ ( l , m , n ) {\displaystyle \operatorname {D} (l,m,n)\leq \triangle (l,m,n)} 은 ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} -삼각군 △ ( l , m , n ) {\displaystyle \triangle (l,m,n)} 의, 다음과 같은 부분군 이다.
대수적 정의: ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} -삼각군 △ ( l , m , n ) = ⟨ a , b , c | a 2 = b 2 = c 2 = ( a b ) l = ( b c ) m = ( c a ) n = 1 ⟩ {\displaystyle \triangle (l,m,n)=\langle a,b,c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{m}=(ca)^{n}=1\rangle } 의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, ( x , y ) = ( a b , b c ) {\displaystyle (x,y)=(ab,bc)} 로 놓으면, D ( l , m , n ) = ⟨ x , y | x l = y m = ( x y ) n = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {D} (l,m,n)=\langle x,y|x^{l}=y^{m}=(xy)^{n}=1\rangle } 이다. 기하학적 정의: ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} -삼각군 △ ( l , m , n ) {\displaystyle \triangle (l,m,n)} 가운데, 국소적으로 방향 을 보존하는 것이다. (가향 다양체 인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향 을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체 가 아니므로 대역적인 방향 의 개념이 존재하지 않는다.)
삼각군 △ ( l , m , n ) {\displaystyle \triangle (l,m,n)} 이 유한군 일 필요 충분 조건 은 구형인 경우, 즉 1 / l + 1 / m + 1 / n > 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n>1} 인 것이다. 이는 쌍곡 평면 이나 유클리드 평면 과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간 이기 때문이다.
쌍곡 폰 뒤크 군은 푹스 군 이다.
구형 삼각군, 즉 1 / l + 1 / m + 1 / n > 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n>1} 인 경우의 목록은 다음과 같다.
( 2 , 2 , n ) {\displaystyle (2,2,n)} , n = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle n=2,3,4,\dotsc } ( 2 , 3 , 3 ) {\displaystyle (2,3,3)} . 이는 정사면체 의 대칭군이다. ( 2 , 3 , 4 ) {\displaystyle (2,3,4)} . 이는 정육면체 및 정팔면체 의 대칭군이다. ( 2 , 3 , 5 ) {\displaystyle (2,3,5)} . 이는 정십이면체 및 정이십면체 의 대칭군이다.(2,2,2)-삼각군
(2,2,3)-삼각군
(2,2,4)-삼각군
(2,2,5)-삼각군
(2,2,6)-삼각군
(2,2,∞)-삼각군
(2,3,3)-삼각군
(2,3,4)-삼각군
(2,3,5)-삼각군
유클리드 삼각군, 즉 1 / l + 1 / m + 1 / n = 1 {\displaystyle 1/l+1/m+1/n=1} 인 경우의 목록은 다음과 같다.
( 2 , 3 , 6 ) {\displaystyle (2,3,6)} . 이는 평면의 정육각형 을 통한 테셀레이션 에 대응한다. ( 2 , 4 , 4 ) {\displaystyle (2,4,4)} . 이는 평면의 정사각형 을 통한 테셀레이션 에 대응한다. ( 3 , 3 , 3 ) {\displaystyle (3,3,3)} . 이는 평면의 정삼각형 을 통한 테셀레이션 에 대응한다.위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다.
( 2 , 3 , n ) {\displaystyle (2,3,n)} , n = 7 , 8 , 9 , … {\displaystyle n=7,8,9,\dotsc } ( 2 , 4 , n ) {\displaystyle (2,4,n)} , n = 5 , 6 , 7 , … {\displaystyle n=5,6,7,\dotsc } ( 3 , 3 , n ) {\displaystyle (3,3,n)} , n = 4 , 5 , 6 , … {\displaystyle n=4,5,6,\dotsc } ( 3 , m , n ) {\displaystyle (3,m,n)} , 4 ≤ m ≤ n {\displaystyle 4\leq m\leq n} ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} , 4 ≤ l ≤ m ≤ n {\displaystyle 4\leq l\leq m\leq n} (2,3,7)-삼각군
(2,3,8)-삼각군
(2,3,9)-삼각군
(2,3,∞)-삼각군
(2,4,5)-삼각군
(2,4,6)-삼각군
(2,4,7)-삼각군
(2,4,8)-삼각군
(2,4,∞)-삼각군
(2,5,5)-삼각군
(2,5,6)-삼각군
(2,5,7)-삼각군
(3,3,4)-삼각군
(3,3,5)-삼각군
(3,3,6)-삼각군
(3,3,7)-삼각군
(3,3,∞)-삼각군
(3,4,4)-삼각군
(3,6,6)-삼각군
(6,6,6)-삼각군
(∞,∞,∞)-삼각군
(2,3,7)-폰 뒤크 군은 클라인 4차 곡선 의 이론에서 등장한다.
모듈러 군
⟨ S , T | S 2 = ( S T ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \langle S,T|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle } 은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.
1856년에 이미 윌리엄 로언 해밀턴 이 정이십면체 의 대칭군이 폰 뒤크 군 D ( 2 , 3 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {D} (2,3,5)} 임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”(영어 : icosian calculus 아이코시언 캘큘러스[* ] )이라고 불렀다.[1] 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다.
“ 나는 최근 비가환 1의 거듭제곱근 의 새로운 체계 — 또는 체계들의 족(族) —를 발견하였다. 이는 사원수 […]와 어떤 면에서는 유사하지만, 전혀 다르다. 또한, 이들은 사원수보다도 더 쉽게 기하학적인 해석 을 갖는다. 이 새 족 가운데 현재 가장 흥미롭다고 생각되는 것은 다음과 같은 관계를 따르는 세 개의 기호 ι {\displaystyle \iota } , κ {\displaystyle \kappa } , λ {\displaystyle \lambda } 로 구성된다.
ι 2 = 1 , κ 3 = 1 , λ 5 = 1 , λ = ι κ ; } . . . . ( A ) {\displaystyle \left.{{\textstyle \iota ^{2}=1,\qquad \kappa ^{3}=1,\qquad \lambda ^{5}=1,} \atop {\textstyle \lambda =\iota \kappa ;}}\right\}\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad \mathrm {(A)} } 여기서 ι κ {\displaystyle \iota \kappa } 는 κ ι {\displaystyle \kappa \iota } 와 다르다 […].I have lately been led to the conception of a new system, or rather family of systems , of non-commutative roots of unity , which are entirely distinct from […] the quaternions, though having some general analogy thereto; and which admit, even more easily than the quaternion symbols do, of geometrical interpretation . In the system which seems at present to be the most interesting one, among those included in this new family, I assume threesymbols, ι {\displaystyle \iota } , κ {\displaystyle \kappa } , λ {\displaystyle \lambda } , such that
ι 2 = 1 , κ 3 = 1 , λ 5 = 1 , λ = ι κ ; } . . . . ( A ) {\displaystyle \left.{{\textstyle \iota ^{2}=1,\qquad \kappa ^{3}=1,\qquad \lambda ^{5}=1,} \atop {\textstyle \lambda =\iota \kappa ;}}\right\}\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad \mathrm {(A)} } where ι κ {\displaystyle \iota \kappa } must be distinguished from κ ι {\displaystyle \kappa \iota } […].
”
“폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(독일어 : Walther Franz Anton von Dyck , 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.