유도 함자 의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주 의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체 에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자 (超誘導函子, 영어 : hyperderived functor ) 또는 초코호몰로지 (超cohomology, 영어 : hypercohomology )라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체 의 유사동형 에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.
사슬 복합체 의 범주는 자연스럽게 모형 범주 를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주 에 대하여 일반화할 수 있다.
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에서, 임의의 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여 단사 분해 , 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열 이 존재한다.
0 → A → I 0 → I 1 → I 2 → ⋯ {\displaystyle 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots } 여기서 I ∙ ∈ Ch ≥ 0 ∙ ( A ) {\displaystyle I^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} 는 단사 대상 으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체 이다. 이러한 긴 완전열 을 대상 A {\displaystyle A} 의 단사 분해 (영어 : injective resolution )이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상 으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체 의 유사동형 과 같다.
0 → A → 0 → 0 → ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 → I 0 → I 1 → I 2 → ⋯ H i ( I ) = { A i = 0 0 i > 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}} 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 와 아벨 범주 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 F {\displaystyle F} 에 대한 상 을 생각하자.
0 → F ( A ) → 0 → 0 → ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) → F ( I 2 ) → ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &F(A)&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &F(I^{0})&\to &F(I^{1})&\to &F(I^{2})&\to &\cdots \end{matrix}}} F {\displaystyle F} 는 두 행의 유사동형 을 보존하지 않는다. 즉, I ∙ {\displaystyle I^{\bullet }} 는 완전열 이었지만, F ( I ∙ ) {\displaystyle F(I^{\bullet })} 은 더 이상 완전열이 아니다. F ( I ∙ ) {\displaystyle F(I^{\bullet })} 의 코호몰로지 를 F {\displaystyle F} 의 오른쪽 유도 함자 의 값으로 정의한다.
R ∙ F : A → Ch ≤ 0 ∙ {\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\leq 0}^{\bullet }} R ∙ F ( A ) = H ∙ ( F ( I ) ) {\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(I))} 특히, R 0 F ( A ) = F ( A ) {\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(A)=F(A)} 이다.
보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 A ∙ ∈ Ch ≥ 0 ∙ ( A ) {\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} 가 주어졌을 때, 항상 단사 대상 으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체 를 찾을 수 있다.
0 → A 0 → A 1 → A 2 → ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 → I 0 → I 1 → I 2 → ⋯ H i ( I ) = H i ( A ) {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A^{0}&\to &A^{1}&\to &A^{2}&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)=\operatorname {H} ^{i}(A)} 이를 공사슬 복합체 A ∙ {\displaystyle A^{\bullet }} 의 단사 분해 라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체 에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 A ∙ ∈ Ch ≥ 0 ∙ ( A ) {\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} 에 대하여, 왼쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 는 두 행의 유사동형 을 일반적으로 보존하지 않는다. F {\displaystyle F} 의 오른쪽 초유도 함자 (영어 : right hyperderived functor )의 값은 A ∙ {\displaystyle A^{\bullet }} 의 단사 분해 I ∙ {\displaystyle I^{\bullet }} 의 상 F ( I ) {\displaystyle F(I)} 의 코호몰로지 이다.
R ∙ F : Ch ≥ 0 ∙ ( F ) → Ch ≥ 0 ∙ ( B ) {\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }(F)\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {B}})} R ∙ F ( A ) = H ∙ ( F ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(A))} 서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 R i F : A → B {\displaystyle R^{i}F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 는 가법 함자 임을 보일 수 있다.
단사 대상 대신, 사영 대상 을 사용해 오른쪽 완전 함자 G {\displaystyle G} 의 왼쪽 유도 함자 (영어 : left derived functor ) L i G {\displaystyle \operatorname {L} _{i}G} 도 유사하게 정의할 수 있다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에서, 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 의 사영 분해 (영어 : projective resolution ) P ∙ {\displaystyle P_{\bullet }} 를 생각하자.
⋯ → P 2 → P 1 → P 0 → 0 ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ → 0 → 0 → A → 0 H i ( I ) = { A i = 0 0 i > 0 {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &A&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}} 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 와 아벨 범주 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 의 왼쪽 유도 함자 L i F ( A ) {\displaystyle \operatorname {L} _{i}F(A)} 는 A {\displaystyle A} 의 사영 분해의 상의 호몰로지 이다.
⋯ → F ( P 2 ) → F ( P 1 ) → F ( P 0 ) → 0 ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ → 0 → 0 → F ( A ) → 0 H i ( F ( P ∙ ) ) = L i F ( P ∙ ) {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &F(A)&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })} L ∙ F : A → Ch ∙ ≥ 0 ( B ) {\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})} 보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 자연수 차수 사슬 복합체 A ∙ ∈ Ch ∙ ≥ 0 ( A ) {\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 가 주어졌을 때, 항상 사영 대상 으로 구성된 유사동형 사슬 복합체 를 찾을 수 있다.
⋯ → P 2 → P 1 → P 0 → 0 ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ → A 2 → A 1 → A 0 → 0 H i ( I ∙ ) = H i ( A ∙ ) {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &A_{2}&\to &A_{1}&\to &A_{0}&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I_{\bullet })=\operatorname {H} _{i}(A_{\bullet })} 이를 사슬 복합체 A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} 의 사영 분해 라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체 에 대한 특수한 경우이다.사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 와 아벨 범주 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 의 왼쪽 초유도 함자 (영어 : left hyperderived functor )
L ∙ F : Ch ∙ ≥ 0 A → Ch ∙ ≥ 0 ( B ) {\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}{\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})} 는 A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} 의 사영 분해의 상의 호몰로지 이다.
⋯ → F ( P 2 ) → F ( P 1 ) → F ( P 0 ) → 0 ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ → F ( A 2 ) → F ( A 1 ) → F ( A 0 ) → 0 H i ( F ( P ∙ ) ) = L i F ( P ∙ ) {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &F(A_{2})&\to &F(A_{1})&\to &F(A_{0})&\to &0\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })} 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체 의 범주는 모형 범주 를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주 에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.
모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주 로 가는 충실한 함자
M → ho ( M ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} 가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 ho ( M ) {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} 의 동형 사상 으로 대응시킨다.
모형 범주에서 올뭉치를 ↠ {\displaystyle \twoheadrightarrow } , 쌍대올뭉치를 ↪ {\displaystyle \hookrightarrow } , 약한 동치를 → ∼ {\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}} 로 표기하자. 시작 대상 은 { ∙ } ∈ M {\displaystyle \{\bullet \}\in {\mathcal {M}}} 이며, 끝 대상 은 ∅ ∈ M {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {M}}} 로 표기하자.
모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 에서 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 로 가는 함자 F : M → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} 가 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 올대상 사이의 약한 동치를 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 동형 사상 으로 보낸다고 하자.
임의의 대상 A ∈ M {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}} 에 대하여, 그 올분해 (영어 : fibrant resolution )
A → ∼ I ↠ { ∙ } {\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F {\displaystyle F} 의 오른쪽 초유도 함자 R F {\displaystyle \operatorname {R} F} 는 다음과 같다.
R F : ho ( M ) → D {\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}} R F : A ↦ F ( I ) {\displaystyle \operatorname {R} F\colon A\mapsto F(I)} 이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 ho ( M ) {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} 위에 정의된다.
공사슬 복합체 모형 범주 공사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ∙ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} 모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 공사슬 복합체 범주의 유도 범주 D ≥ 0 ∙ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} 모형 범주 의 호모토피 범주 ho ( M ) {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} 유도 범주 D ( B ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 오른쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 로부터 정의된 함자 F ∗ : Ch ≥ 0 ∙ → D ( B ) {\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} 함자 F : M → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} 단사 대상 으로 구성된 공사슬 복합체 I ∙ {\displaystyle I^{\bullet }} 올 대상 I ↠ { ∙ } {\displaystyle I\twoheadrightarrow \{\bullet \}} 단사 분해 A ∙ → I ∙ {\displaystyle A^{\bullet }\to I^{\bullet }} 올 분해 A → ∼ I ↠ { ∙ } {\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}} 오른쪽 초유도 함자 R F : D ≥ 0 ∙ ( A ) → D ( B ) {\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} 오른쪽 초유도 함자 R F : M → D {\displaystyle \operatorname {R} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주 로 가는 충실한 함자
M → ho ( M ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} 가 존재한다.
모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 에서 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 로 가는 함자 F : M → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} 가 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 동형 사상 으로 보낸다고 하자.
임의의 대상 A ∈ M {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}} 에 대하여, 그 쌍대올분해
∅ ↪ Q → A {\displaystyle \varnothing \hookrightarrow Q\to A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F {\displaystyle F} 의 왼쪽 초유도 함자 L F {\displaystyle \operatorname {L} F} 는 다음과 같다.
L F : ho ( M ) → D {\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}} L F : A ↦ F ( Q ) {\displaystyle \operatorname {L} F\colon A\mapsto F(Q)} 사슬 복합체 모형 범주 사슬 복합체 범주 Ch ∙ ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 모형 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 사슬 복합체 범주의 유도 범주 D ∙ ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 모형 범주 의 호모토피 범주 ho ( M ) {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} 유도 범주 D ( B ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 오른쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 로부터 정의된 함자 F ∗ : Ch ∙ ≥ 0 → D ( B ) {\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} 함자 F : M → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} 사영 대상 으로 구성된 사슬 복합체 P ∙ {\displaystyle P_{\bullet }} 쌍대올 대상 0 ↪ P {\displaystyle 0\hookrightarrow P} 사영 분해 P ∙ → A ∙ {\displaystyle P_{\bullet }\to A_{\bullet }} 쌍대올 분해 0 ↪ P → A {\displaystyle 0\hookrightarrow P\to A} 왼쪽 초유도 함자 L F : D ∙ ≥ 0 → D ( B ) {\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} 왼쪽 초유도 함자 L F : M → D {\displaystyle \operatorname {L} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
모형 범주 에서는 약한 동치의 모임 이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대 의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.[2]
약한 동치의 모임이 주어진 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 및 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화 를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 ho ( C ) {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})} 및 포함 함자 J : C → ho ( C ) {\displaystyle J\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, F {\displaystyle F} 의 왼쪽 유도 함자 L F : ho ( C ) → D {\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}} 는 (만약 존재한다면) F {\displaystyle F} 의 J {\displaystyle J} 에 대한 오른쪽 칸 확대 이다.
C → F D ↓ L F ↗ L F ho ( C ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}} 오른쪽 칸 확대 의 보편 성질 에 따라서, 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 자연 변환의 성분 L F ( J ( X ) ) → F ( X ) {\displaystyle \operatorname {L} F(J(X))\to F(X)} 이 존재한다. 모형 범주 의 경우, 이 사상은 X {\displaystyle X} 의 쌍대올 분해 0 ↪ P → X {\displaystyle 0\hookrightarrow P\to X} 의 상 F ( P ) → F ( X ) {\displaystyle F(P)\to F(X)} 이다.
마찬가지로, F {\displaystyle F} 의 오른쪽 유도 함자 R F : ho ( C ) → D {\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}} 는 (만약 존재한다면) F {\displaystyle F} 의 J {\displaystyle J} 에 대한 왼쪽 칸 확대 이다. 왼쪽 칸 확대 의 보편 성질 에 따라서, 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 자연 변환의 성분 F ( X ) → R F ( J ( X ) ) {\displaystyle F(X)\to \operatorname {R} F(J(X))} 이 존재한다. 모형 범주 의 경우, 이 사상은 X {\displaystyle X} 의 올 분해 X → I ↠ { ∙ } {\displaystyle X\to I\twoheadrightarrow \{\bullet \}} 의 상 F ( X ) → F ( I ) {\displaystyle F(X)\to F(I)} 이다.
C → F D ↓ L F ↗ L F ho ( C ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}
원래 함자 F {\displaystyle F} 는 왼쪽 완전 함자 라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분
0 → X 0 → I 0 → I 1 {\displaystyle 0\to X^{0}\to I^{0}\to I^{1}} 의 상
0 → F ( X 0 ) → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) {\displaystyle 0\to F(X^{0})\to F(I^{0})\to F(I^{1})} 은 완전열 이다. 따라서, F ( X 0 ) → F ( I 0 ) {\displaystyle F(X^{0})\to F(I^{0})} 은 단사 사상 이며,
R 0 F ( X ) = ker ( F ( I 0 ) → F ( I 1 ) ) = im ( F ( X ) → F ( I 0 ) ) ≅ F ( X ) {\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(X)=\ker(F(I^{0})\to F(I^{1}))=\operatorname {im} (F(X)\to F(I^{0}))\cong F(X)} 이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형 이다. 즉, R 0 F ≃ F {\displaystyle R^{0}F\simeq F} 이다.
만약 X {\displaystyle X} 가 단사 대상 이라면, 단사 분해를
0 → X → X → 0 {\displaystyle 0\to X\to X\to 0} 으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상
0 → F ( X ) → F ( X ) → 0 {\displaystyle 0\to F(X)\to F(X)\to 0} 의 호몰로지 는 자명하다. 즉, 모든 i > 0 {\displaystyle i>0} 에 대하여 R i F ( X ) = 0 {\displaystyle \operatorname {R} ^{i}F(X)=0} 이고, 단사 대상 의 유도 함자에 대한 상 은 항상 0이다.
왼쪽 완전 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 및 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 짧은 완전열
0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 이 주어졌을 때, 뱀 보조정리 에 따라서 다음과 같은 긴 완전열 이 발생한다.
0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R 1 F ( C ) → R 2 F ( A ) → ⋯ {\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to \operatorname {R} ^{1}F(A)\to \operatorname {R} ^{1}F(B)\to \operatorname {R} ^{1}F(C)\to \operatorname {R} ^{2}F(A)\to \cdots } 마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 및 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 짧은 완전열
0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 이 주어졌을 때, 뱀 보조정리 에 따라서 다음과 같은 긴 완전열 이 발생한다.
⋯ → L 2 F ( C ) → L 1 F ( A ) → L 1 F ( B ) → L 1 F ( C ) → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 {\displaystyle \cdots \to \operatorname {L} _{2}F(C)\to \operatorname {L} _{1}F(A)\to \operatorname {L} _{1}F(B)\to \operatorname {L} _{1}F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}