오일러-마스케로니 상수

오일러-마스케로니 상수 ${\displaystyle \gamma }$ 는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx}$

그 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A001620)

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(라틴어: De Progressionibus harmonicis observationes)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 C 또는 O로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(이탈리아어: Lorenzo Mascheroni)도 1790년 이 수를 언급하였고, A 또는 a라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 γ로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.^[1]

오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10²⁴²⁰⁸⁰ 이상이라는 것이 알려져 있다.

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

${\displaystyle \gamma =-\lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=-\lim _{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.}$

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}\\&=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\end{aligned}}}$

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

레온하르트 오일러는 최초로 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯자리까지 연산하였다. 1781년에 그는 소수점 아래 16자리까지 연산하였다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지의 연산을 시도하였지만 20-22자리와 31-32자리에 오류를 만들었다. 20번째 자릿수부터 시작하여 그는 ...1811209008239을 연산했으나 올바른 자릿수는 ...0651209008240이였다.

• 폴리감마 함수

• Yee, Alexander J. (2011년 3월 7일). “Nagisa - Large Computations”. 《www.numberworld.org》. 
• “Records Set by y-cruncher”. 《www.numberworld.org》. 2017년 8월 24일. 2018년 4월 30일에 확인함. 

• Kudryavtsev, L.D. (2001). “Euler constant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler-Mascheroni constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.