전기 쌍극자 모멘트 (電氣雙極子moment, electric dipole moment )는 물리학 에서 전하 로 이루어진 계 의 극성 을 재는 척도의 하나이다. 전기 쌍극자 모멘트를 가진 계를 전기 쌍극자 (電氣雙極子, electric dipole )라고 부른다.
+ q {\displaystyle +q} 의 양전하와 − q {\displaystyle -q} 의 음전하로 이루어진 계의 경우 전기 쌍극자 모멘트 p {\displaystyle p} 는 다음과 같이 정의한다.
p = q r {\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {r} } 여기서 r {\displaystyle r} 은 음전하로부터 양전하를 가리키는 변위 벡터이다.
일반적으로, N {\displaystyle N} 개의 점전하 q i {\displaystyle q_{i}} 로 이루어진 계의 경우 전기 쌍극자 모멘트 p {\displaystyle p} 는 다음과 같이 정의한다.
p = ∑ i = 1 N q i r i {\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\,\mathbf {r} _{i}} 여기서 r i 는 어느 기준점으로부터 각 점전하를 가리키는 변위 벡터이다. 여기서 p 의 값은 계가 전기적으로 중성일 때, 즉, 계의 전하량이 0일 때, 아무 기준점으로부터나 계산해도 값이 변하지 않는다. N = 2일 경우, 위의 경우와 같은 값을 얻는다.
연속적으로 전하가 분포할 때는 다음과 같이 전기 쌍극자 모멘트 p 를 정의한다.
p = ∫ V r d q = ∫ V ρ ( r ) r d V {\displaystyle \mathbf {p} =\int _{V}\mathbf {r} \,dq=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} dV} 여기서
r i : 어느 기준점으로부터의 변위 벡터V : 전하가 분포하는 전체 공간 ρ(r ) : 전하의 분포를 나타내는 전하 밀도 함수 dq : 전하 요소 dV : 부피 요소 이다.
알짜 전하가 0인 계 의 경우 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 관계하지 않지만, 알짜 전하가 0이 아닌 경우에는 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 따라 달라진다. 이런 경우에는 통상적으로 질량 중심 을 기준점으로 삼는다.
예를 들어, 한 쌍의 전하량 이 서로 반대인 두개의 전하 또는 전기적으로 중성인 도체 가 균일한 전기장 속에 있다 하자. 이런 계 의 경우 알짜 전하가 0이므로 쉽게 쌍극자 모멘트를 구해 전기장을 구하거나, 라플라스 방정식 을 풀어 쉽게 계를 이해할 수 있다. 하지만 양성자 나 전자 따위의 전기 쌍극자 모멘트 를 계산할 경우에는 질량 중심 을 기준으로 잡아야 한다.
주어진 기준점에 대하여 전기 쌍극자 모멘트 p {\displaystyle \mathbf {p} } 를 가진 쌍극자는 균일한 전기장 E {\displaystyle \mathbf {E} } 안에서 전기장에 의하여 돌림힘을 받는다. 전기 쌍극자 모멘트와 같은 기준점에서의 돌림힘 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} 는 다음과 같다.
τ = p × E {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} } .유도 양전하 q {\displaystyle q} 와 음전하 − q {\displaystyle -q} 로 이루어진 길이 d {\displaystyle d} 의 쌍극자가 균일한 전기장 E {\displaystyle \mathbf {E} } 에 놓여 있다고 하자. 쌍극자 모멘트와 전기장 사이의 각도 를 θ {\displaystyle \theta } 라고 하면, 쌍극자의 각 전하가 받는 힘
F = q E {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} } 에 의해 쌍극자는 돌림힘
τ = 2 ⋅ ( r × F ) = d F sin θ τ ^ = d q E sin θ τ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )=dF\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=dqE\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}} 를 받아 회전한다. 그런데 전기 쌍극자 모멘트는 p = q d {\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} } 로 정의하므로
τ = p E sin θ τ ^ = p × E {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=pE\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} } 가 된다.
이 돌림힘은 다음과 같은 위치 에너지 로 나타낼 수 있다.
U = − p ⋅ E {\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} } .즉 쌍극자가 전기장과 같은 방항을 가리키는 경우 전기적 위치 에너지 가 최소이고, 반면 쌍극자가 전기장의 반대 방향을 가리키면 전기적 위치 에너지가 최대다. 이에 따라, 다른 외부 힘이 없다면 쌍극자는 전기장의 같은 방향으로 정렬한다.
전기 쌍극자 모멘트 p {\displaystyle \mathbf {p} } 를 가진 쌍극자가 전기장 E {\displaystyle \mathbf {E} } 안에서 받는 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
F = ( p ⋅ ∇ ) E {\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} } .유도 양전하 q {\displaystyle q} 와 음전하 − q {\displaystyle -q} 로 이루어진 길이 d {\displaystyle d} 의 쌍극자가 전기장 E ( x ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )} 에 놓여 있다고 하자. + q {\displaystyle +q} 의 전하가 x + r {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {r} } 에 놓여있고, − q {\displaystyle -q} 의 전하가 + x {\displaystyle +x} 에 놓여있을 때 전체 계가 받는 힘은 다음과 같다.
F = q E ( x + r ) − q E ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-q\mathbf {E} (\mathbf {x} )} 이를 정리하고, r → 0 {\displaystyle \mathbf {r} \to 0} 이라고 하면
F = q ( E ( x + r ) − E ( x ) ) = q ( E ′ ( x ) ⋅ r ) {\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {E} (\mathbf {x} )\right)=q(\mathbf {E} '(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {r} )} 가 된다. 그런데 다변수 함수 E {\displaystyle \mathbf {E} } 에 대한 미분이
E = ∂ E ( x , y , z ) ∂ ( x , y , z ) = ( ∂ E x ∂ x ∂ E x ∂ y ∂ E x ∂ z ∂ E y ∂ x ∂ E y ∂ y ∂ E y ∂ z ∂ E z ∂ x ∂ E z ∂ y ∂ E z ∂ z ) {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\partial \mathbf {E} (x,y,z)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}} 임을 이용하여 정리하면 다음과 같은 꼴이 나옴을 알 수 있다.
F = ( p ⋅ ∇ ) E {\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} } 또한 임의의 지점에 대한 돌림힘은 다음과 같이 나타내어진다.
τ = p × E + r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} } .
시간에 따라 일정한 전기 쌍극자 모멘트 p {\displaystyle \mathbf {p} } 를 가진 쌍극자의 전위 ϕ ( r ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )} 는 다음과 같다.
ϕ ( r ) = p ⋅ r ^ 4 π ϵ 0 r 2 {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}} .여기서 r {\displaystyle \mathbf {r} } 은 쌍극자의 위치에서 전위를 측정하려는 위치를 가리키는 변위 벡터이고, r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} 는 r {\displaystyle \mathbf {r} } 방향의 단위 벡터 이다. ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 는 진공의 유전율 이다.따라서 전기 쌍극자의 전기장 E ( r ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )} 는 다음과 같다.
E ( r ) = − ∇ ϕ = 3 ( p ⋅ r ^ ) r ^ − p 4 π ϵ 0 r 3 {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi ={\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}} .시간에 따라 그 모멘트가 바뀌는 전기 쌍극자 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} 의 경우는 뒤처진 퍼텐셜 을 고려하여야 하므로 더 복잡하다. 전위 는 다음과 같다.
ϕ ( r , t ) = ( p ( t ret ) + p ˙ ( t ret ) r / c ) ⋅ r ^ 4 π ϵ 0 r 2 {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {(\mathbf {p} (t_{\text{ret}})+{\dot {\mathbf {p} }}(t_{\text{ret}})r/c)\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}} .여기서 t ret = t − r / c {\displaystyle t_{\text{ret}}=t-r/c} 는 뒤처진 시간이다. 만약 p = p 0 cos ( ω t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\cos(\omega t)} 이고, r ≫ c / ω {\displaystyle r\gg c/\omega } 인 경우(원거리장)는 다음과 같다.
ϕ ( r , t ) = − p 0 sin ( ω t ret ) ⋅ r ^ 4 π ϵ 0 c r {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {p} _{0}\sin(\omega t_{\text{ret}})\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}cr}}} .시간에 따라 그 모멘트가 바뀌는 전기 쌍극자 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} 는 자기장 을 발생시킨다. 이는 쌍극자를 한 쌍의 점전하로 간주하여 한 점전하에서 다른 점전하로 전류 가 흐르는 것으로 해석할 수 있다. 즉, 쌍극자의 크기가 d {\displaystyle d} 이고 쌍극자 모멘트가 p ( t ) = q ( t ) d {\displaystyle \mathbf {p} (t)=q(t)d} 이라면 그 전류는 다음과 같다.
I = q ˙ = p / d {\displaystyle I={\dot {q}}=p/d} .따라서 시간에 따라 바뀌는 전기 쌍극자의 벡터 퍼텐셜 은 다음과 같다.
A ( r , t ) = μ 0 p ˙ ( t ret ) 4 π r {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}{\dot {\mathbf {p} }}(t_{\text{ret}})}{4\pi r}}} .전기 쌍극자 복사 (電氣雙極子輻射, electric dipole radiation )란 시간에 따라 크기가 바뀌는 전기 쌍극자가 방출하는 복사 전자기파 다.
쌍극자 p = p 0 cos ( ω t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\cos(\omega t)} 를 생각해 보자. 그 뒤처진 퍼텐셜 은 다음과 같다.
ϕ ( r , t ) = − p 0 ⋅ r ^ sin ( ω ( t − r / c ) ) 4 π ϵ 0 c r {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {p} _{0}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}\sin(\omega (t-r/c))}{4\pi \epsilon _{0}cr}}} A ( r , t ) = p 0 ω 4 π ϵ 0 r sin ( ω ( t − r / c ) ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {p} _{0}\omega }{4\pi \epsilon _{0}r}}\sin(\omega (t-r/c))} .따라서 그 원거리 ( O ( 1 / r ) {\displaystyle O(1/r)} ) 전자기장 은 다음과 같다.
B = ω 2 4 π ε 0 c 3 r ( r ^ × p ) cos ( ω ( t − r / c ) ) / r {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}r}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\cos(\omega (t-r/c))/r} E = c B × r ^ {\displaystyle \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}} .그 포인팅 벡터 는 다음과 같다.
S = 1 μ 0 E × B = μ 0 ω 4 32 π 2 c r 2 r ^ {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}cr^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}} .이를 모든 입체각 에 대하여 적분하면 전기 쌍극자 방사의 일률 P {\displaystyle P} 를 얻는다.
P = ∮ 4 π S d Ω = μ 0 ω 4 p 0 2 12 π c {\displaystyle P=\oint _{4\pi }S\,d\Omega ={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}} .이는 쌍극자에 대한 라모 공식 과 같다.