하디-리틀우드 타우버 정리

유계 변동 함수

${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle s>0}$ 인 경우 라플라스 변환

${\displaystyle \omega (s)=\int _{0}^{\infty }\exp(-st)\,df(t)}$

이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 임의의 음이 아닌 실수 ${\displaystyle \rho \geq 0}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle s\to 0^{+}}$ 이라면 ${\displaystyle \omega (s)\sim s^{-\rho }}$ 이다.
• ${\displaystyle t\to \infty }$ 라면 ${\displaystyle f(t)\sim t^{\rho }/\Gamma (\rho +1)}$ 이다.

급수 ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위의 하디-리틀우드 타우버 정리를 ${\displaystyle a_{k}}$ 에 대한 계단 함수

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }a_{k}}$

에 적용하면, 다음과 같은 형태의 하디-리틀우드 타우버 정리를 얻는다. 만약

• 항상 ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$ 이며,
• ${\displaystyle y\to 0^{+}}$ 일 때 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\exp(-ky)\sim 1/y}$ 라면,

다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n\qquad (n\to \infty )}$

리틀우드 타우버 정리(영어: Littlewood Tauberian theorem)에 따르면, 만약 수열 ${\displaystyle a_{n}}$ 이

${\displaystyle a_{n}\in O(1/n)}$

이며, ${\displaystyle x\to 1^{-}}$ 일 때

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\to s}$

라면,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=s}$

이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{k=0}^{\infty }(1-x)^{c}a_{k}x^{k}=s\implies \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim {\frac {s}{\Gamma (1+c)}}n^{c}}$

에서, ${\displaystyle c=0}$ 인 특수한 경우이다.

하디-리틀우드 타우버 정리에서, ${\displaystyle a_{n}}$ 이 음이 아닌 수라는 조건을 생략하면, 정리는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어,

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}x^{k}}$

를 생각하자. 이 경우 ${\displaystyle x\to 1}$ 이라면 ${\displaystyle g(x)\sim 1/(4(1-x))}$ 이지만,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}g_{k}={\begin{cases}n/2+1&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}\not \sim n/4}$

이다.

• “Hardy-Littlewood theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hardy-Littlewood Tauberian theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.