ദ്വിപദപ്രമേയം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തുകകളുടെ കൃതിയുടെ വികസിത രൂപം തരുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട സമവാക്യമാണ് ദ്വിപദപ്രമേയം. ഇതിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം താഴെപറയുന്നതാണ്.

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}$

x, y എന്നിവ രേഖീയ സംഖ്യയോ മിശ്ര സംഖ്യയോ n ഋണേതര പൂർണ സംഖ്യയുമായിരിക്കണം. ഈ സമവാക്യത്തിലെ ദ്വിവർഗ്ഗ ഗുണാങ്കം ഫാക്ടോറിയൽ n!-നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാം.

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}$

പാസ്കൽ ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ചും ഈ ഗുണാങ്കം കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്‌.

2 ≤ n ≤ 5 ആയ ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}$

ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ലേഖനം അപൂർണ്ണമാണ്‌. ഇതു വികസിപ്പിക്കുവാൻ സഹായിക്കുക.