Arcsinus

De functie ${\displaystyle \arcsin }$ is gedefinieerd voor ${\displaystyle x\in [-1,1]}$ door de relatie

${\displaystyle \arcsin(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in [-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi ]{\mbox{ en }}\sin(\alpha )=x}$

In woorden: de hoek of boog waarvan de sinus ${\displaystyle x}$ is, is gelijk aan ${\displaystyle \alpha }$ .

De arcsinus heeft de reeksontwikkeling:

${\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n}}$

Daarin is ${\displaystyle \Gamma }$ de gammafunctie.

De afgeleide van de arcsinus is:

${\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arcsin(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

voor ${\displaystyle x\in (-1,1)}$ .