Differentieerbaarheidsklasse
In de analyse is een differentieerbaarheidsklasse een klasse waarin een functie kan worden ingedeeld, die ertoe dient de mogelijkheden deze functie te differentiëren te kunnen classificeren. Hogere-orde differentieerbaarheidsklassen corresponderen met het bestaan van meer afgeleiden. Ruwweg kan men zeggen dat een functie die keer continu kan worden gedifferentieerd tot de -de differentieerbaarheidsklasse hoort.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Bump2D_illustration.png/260px-Bump2D_illustration.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/C0_function.svg/260px-C0_function.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Mollifier_illustration.png/260px-Mollifier_illustration.png)
Classificatie
bewerkenEen reële functie gedefinieerd op een open deelverzameling van de reële getallen behoort tot de differentieerbaarheidsklasse
met
een niet-negatief geheel getal, als de eerste
afgeleiden
bestaan en continu zijn. De eerste
afgeleiden zijn automatisch continu vanwege het bestaan van de
-de afgeleide. Men zegt dan ook dat
van de klasse
is.
Van een functie zegt men dat deze van klasse
, of glad is, als de functie afgeleiden heeft van alle mogelijk ordes. Van
zegt men dat deze van klasse
of analytisch is, als
glad is en als
gelijk is aan haar taylorreeksontwikkeling rond elk willekeurig punt in haar domein.
Anders gezegd bestaat de klasse uit alle continue functies. De klasse
bestaat uit alle differentieerbare functies, waarvan de afgeleide continu is. Deze functies worden continu differentieerbaar genoemd. In het algemeen kunnen de klassen
recursief worden gedefinieerd door
als de verzameling van alle continue functies te definiëren en
voor elk positief geheel getal
als de verzameling van alle differentieerbare functies te definiëren waarvan de afgeleide van klasse
is. In het bijzonder maakt
deel uit van
voor elke
, en er zijn voorbeelden die laten zien dat deze opsluiting strikt is.
is de doorsnede van de verzamelingen
als
varieert over de niet-negatieve gehele getallen.
is strikt genomen opgesloten in
. De bultfunctie is hier een voorbeeld van.