Elipsoida obrotowa

Niech ${\displaystyle a,b,c}$ oznaczają długości osi, zorientowane tak, że^[1]:

Równanie parametryczne elipsoidy obrotowej:

${\displaystyle x=a\sin v\cos u}$

${\displaystyle y=a\sin v\sin u}$

${\displaystyle z=c\cos v.}$

Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

gdzie ${\displaystyle u\in \{0,\tau \},}$ a ${\displaystyle v\in \{o,\pi \}.}$

Pole powierzchni bryły wynosi:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\tau a^{2}+{\frac {\pi c^{2}}{e_{1}}}\ln \left({\frac {1+e_{1}}{1-e_{1}}}\right)\\&=\tau a^{2}+{\frac {\tau ac}{e_{2}}}\sin ^{-1}e_{2}\\&=\tau (a^{2}+{\frac {c^{2}}{e_{1}}}\operatorname {tgh} ^{-1}e_{1})\\&=\tau \left(a^{2}+c_{2}^{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}}{,}1;{\frac {3}{2}};1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\right)\right)\end{aligned}}}$

gdzie:

${\displaystyle e_{1}={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}$

${\displaystyle e_{2}={\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}}.}$

${\displaystyle F_{1}}$ to funkcja hipergeometryczna.

Objętość bryły wynosi:${\displaystyle {\frac {4\pi a^{2}c}{3}}.}$

• elipsoida