Grupa abelowa wolna
Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.
Własności
edytuj- Grupy abelowe wolne są algebrami wolnymi, a więc w szczególności każde dwie bazy abelowej grupy wolnej są równoliczne. Moc dowolnej bazy grupy abelowej wolnej nazywamy jej rangą.
- Dla każdej liczby kardynalnej
istnieje grupa abelowa wolna rangi
- Niech
będzie grupą abelową wolną oraz
grupą abelową. Jeżeli istnieje epimorfizm
to istnieje podgrupa
grupy
izomorficzna z grupą
taka, że
- Każda grupa abelowa
jest obrazem homomorficznym pewnej grupy abelowej wolnej. Ponadto, jeśli grupa
ma zbiór generatorów mocy
to jest ona obrazem homomorficznym grupy abelowej wolnej rangi
Twierdzenie to pociąga wniosek, że każda grupa abelowa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy abelowej wolnej.
- Podgrupa grupy abelowej wolnej jest wolną grupą abelową.
Przykłady
edytuj- Grupa
liczb całkowitych z dodawaniem. Bazami tej grupy są zbiory
- Suma prosta
na mocy indukcji matematycznej przykład ten uogólnia się na skończoną rodzinę grup izomorficznych z
- Grupa addytywna pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Bazą tej grupy jest np. zbiór
- Zewnętrzna suma prosta dowolnej rodziny grup abelowych wolnych jest grupą abelową wolną.
- Grupa Baera-Speckera, czyli iloczyn przeliczalnie wielu egzemplarzy
nie jest abelową grupą wolną[1], jednak każda jej przeliczalna podgrupa jest[2].
Przypisy
edytuj- ↑ Reinhold Baer. Dualism in abelian groups. „Bulletin of the American Mathematical Society”, s. 121–124, 1937.
- ↑ Ernst Specker. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen. „Portugaliae Mathematica”, s. 131–140, 1950.
🔥 Top keywords: Wikipedia:Strona głównaMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2024Specjalna:SzukajWikipedia:O WikipediiMistrzostwa Europy w piłce nożnejNoc KupałyAndrzej MularczykCristiano RonaldoMichał ProbierzDzień OjcaRomelu LukakuMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2020Mistrzostwa Świata w Piłce Nożnej 2026Reprezentacja Polski w piłce nożnej mężczyznRobert LewandowskiGruzjaSzymon MarciniakMistrzostwa świata w piłce nożnej mężczyznDonald SutherlandFelicjan AndrzejczakPepe (ur. 1983)PolskaLiga Narodów w Piłce Siatkowej Mężczyzn 2024Mistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2016Copa AméricaVito BambinoLiga Narodów w Piłce Siatkowej Kobiet 2024Mistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2028Nicola ZalewskiGheorghe HagiWojciech SzczęsnyEwa GawrylukRumuniaZmarli w czerwcu 2024Roman BratnyJarosław Marek RymkiewiczBelgiaTaco HemingwayMistrzostwa Świata w Piłce Nożnej 2022