Macierz unitarna
Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność[1]:
gdzie:
- jest macierzą jednostkową wymiaru
- jest sprzężeniem hermitowskim macierzy
Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:
Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.
Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.
Macierz unitarna wymiaru można sparametryzować za pomocą parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).
Własności macierzy unitarnej
edytujDla macierzy słuszne są następujące stwierdzenia:
- Dla dowolnych wektorów zespolonych
and
mnożenie przez
zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.
można zdiagonalizować, co oznacza, że
jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego
można rozłożyć do postaci
- gdzie
jest unitarna, zaś
jest diagonalna i unitarna.
- Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
- Wektory własne macierzy
są ortogonalne.
może być zapisana w postaci
gdzie
oznacza eksponentę macierzy,
jest jednostką urojoną, zaś
jest macierzą hermitowską.
Równoważne warunki
edytujJeżeli jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:
jest unitarna.
jest unitarna.
- macierz odwrotna do
jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do
tj.
- Kolumny
tworzą bazę ortonormalną w
ze względu na iloczyn wewnętrzny.
- Wiersze
tworzą bazę ortonormalną w
ze względu na iloczyn wewnętrzny.
jest izometrią ze względu na zwykła normę.
jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.
Grupa unitarna
edytujDla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej zbiór wszystkich
macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową
jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną
Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:
- Iloczyn dwóch macierzy unitarnych
jest macierzą unitarną.
- Macierz odwrotna do macierzy unitarnej
jest unitarna.
- Macierz jednostkowa
jest unitarna.
Parametryzacje macierzy unitarnych
edytujMacierze unitarne 1×1
edytujOgólna postać macierzy unitarnej 1×1:
która zależy od 1 rzeczywistego parametru Wyznacznik takiej macierzy wynosi:
Przypadek gdy jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci
która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).
Macierze unitarne 2×2
edytujOgólna postać macierzy unitarnej 2×2:
która zależy od 4 rzeczywistych parametrów ( oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych
). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:
Gdy to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).
Macierz może być napisana w alternatywnej formie:
po podstawieniu and
otrzymamy faktoryzację:
Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu
Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.
Macierze unitarne 3×3
edytujOgólna postać macierzy unitarnej 3×3:
która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz
która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).
Przykłady
edytuj(1) Macierz
jest unitarna, ponieważ
(2) Macierz
jest unitarna, ponieważ
(3) Macierz
jest unitarna, ponieważ
(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:
Macierze unitarne w fizyce
edytujMacierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.
Macierz ewolucji czasowej
edytujDla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili
przez macierz ewolucji czasowej
czyli[2]
Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:
Ponieważ
długość wektora stanu w chwili wynosi
Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.
Wartość oczekiwana pomiaru
edytujWartość oczekiwaną pomiaru w chwili
z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej
odpowiada operator pomiaru
(reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[3]:
co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan układu w chwili
i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:
Jeżeli oznaczymy
to powyższy wzór przyjmie postać:
Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili ma postać:
Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem
Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.
Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ macierz, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-03-12] .
- ↑ Cohen-Tannoudji, Diu i Laloë 1977 ↓, s. 308–311.
- ↑ Cohen-Tannoudji, Diu i Laloë 1977 ↓, s. 312–315.
Bibliografia
edytuj- Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics 1, New York: Hermann, 1977, ISBN 978-0471569527 .
Literatura dodatkowa
edytuj- T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 94–123.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Unitary Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].