Twierdzenie Darboux

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją ciągłą. Jeżeli ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$ (tzn. wartości funkcji ${\displaystyle f}$ na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt ${\displaystyle c}$ w przedziale ${\displaystyle (a,b),}$ dla którego

${\displaystyle f(c)=0.}$

Ogólniej: każda funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ ma własność Darboux, tzn. jeśli ${\displaystyle d}$ spełnia jedną z nierówności ${\displaystyle f(a)<d<f(b)}$ lub ${\displaystyle f(a)>d>f(b),}$ to istnieje taki punkt ${\displaystyle c}$ w przedziale ${\displaystyle [a,b],}$ dla którego

${\displaystyle f(c)=d.}$

Oba sformułowania są równoważne: funkcje ${\displaystyle f}$ w obu z nich różnią się jedynie o stałą ${\displaystyle d.}$

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} .}$ Bez straty ogólności można założyć, że ${\displaystyle d}$ jest liczbą z przedziału otwartego ${\displaystyle (f(a),f(b)).}$

Niech

${\displaystyle A=\{x\in [a,b]\colon f(x)\leqslant d\}=f^{-1}[(-\infty ,d]],}$

${\displaystyle A^{c}=\{x\in [a,b]\colon f(x)>d\}=f^{-1}[(d,+\infty )].}$

Wówczas zbiory ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle A^{c}}$ są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest ${\displaystyle b}$ więc istnieje na mocy aksjomatu ciągłości ${\displaystyle s=\sup A.}$ Dla danych ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ,p_{0}\in T}$ oraz ${\displaystyle r>0}$ oznaczmy

${\displaystyle B_{T}(p_{0};r)=\{p\in T:|p-p_{0}|<r\}.}$

Wykażemy, że ${\displaystyle f(s)=d.}$ Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle A^{c}}$ spełnione są następujące ciągi implikacji:

${\displaystyle f(s)<d\Rightarrow (s\neq b)\,\land \,\exists _{\delta >0}\;(B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);d-f(s))]\subseteq A)\,\land \,(s+\delta <b),}$

czyli:

${\displaystyle \exists _{\delta >0}\ (s,s+\delta )\cap A\neq \emptyset \Rightarrow \sup A\neq s,}$

w innym przypadku:

${\displaystyle f(s)>d\Rightarrow \exists _{\delta >0}\;B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);f(s)-d)]\subseteq A^{c}\Rightarrow \exists _{\delta >0}\ A\cap (s-\delta ,s]=\emptyset \Rightarrow \sup A\neq s.}$

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby ${\displaystyle f(s)\neq d.}$

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją oraz niech ${\displaystyle d}$ będzie liczbą z przedziału otwartego ${\displaystyle (f(a),f(b)).}$ Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty },}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty },}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n=0}^{\infty }{:}}$

• ${\displaystyle a_{0}=a,b_{0}=b,c_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{0}+b_{0}),}$
• jeśli ${\displaystyle f(c_{n})=d,}$ to koniec dowodu,
  jeśli ${\displaystyle f(c_{n})>d,}$ to ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n},}$ ${\displaystyle b_{n+1}=c_{n},}$
  jeśli ${\displaystyle f(c_{n})<d,}$ to ${\displaystyle a_{n+1}=c_{n},}$ ${\displaystyle b_{n+1}=b_{n}}$
  ${\displaystyle c_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(a_{n+1}+b_{n+1}).}$

Tak zdefiniowane ciągi ${\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}$ mają następujące własności:

1. ${\displaystyle a_{n}\leqslant a_{n+1}<b_{n+1}\leqslant b_{n},}$
2. ${\displaystyle b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {1}{2}}(b_{n}-a_{n}).}$
3. ${\displaystyle f(a_{n})\leqslant d\leqslant f(b_{n}),}$

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi ${\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}$ jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

${\displaystyle c=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

Na podstawie ciągłości funkcji ${\displaystyle f(x)}$ ciągi ${\displaystyle f(a_{n}),\ f(b_{n})}$ są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(c)=\lim _{n\to \infty }f(b_{n}).}$

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})\leqslant d\leqslant \lim _{n\to \infty }f(b_{n}).}$

Stąd

${\displaystyle f(c)=d.}$

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją oraz niech ${\displaystyle d}$ będzie liczbą z przedziału otwartego ${\displaystyle (f(a),f(b)).}$ Przypuśćmy, że ${\displaystyle d}$ nie jest wartością funkcji ${\displaystyle f.}$ Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{d\}}$ powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział ${\displaystyle [a,b]}$ ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że ${\displaystyle d}$ nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja ${\displaystyle sgn(x)={\frac {x}{|x|}}}$ określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera ${\displaystyle (x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})}$ ^[4][5][6].

• Izydor Dziubiński, Tadeusz Świątkowski: Poradnik matematyczny Część 2. Wyd. IV. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukwoe, 1985. ISBN 83-01-04121-8.
  • Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru.
• Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1976. ISBN 83-01-02846-7.
  • Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw. II.17.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-02846-7.
  • Rozdział 4. Ciągłość. Ciągłość i spójność, Tw. 4.22.

• Kazimierz Kuratowski: Wykłady rachunku różniczkowego i całkowego. Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk, 1948, s. 83–84, seria: Monografie Matematyczne.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna. T. 1. Cz. 1: Ciągi szeregi i funkcje. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 170–171. ISBN 978-83-232-1049-8.

• Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Intermediate Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-26].