Wzór McMillana

Wzór McMillana – wzór pozwalający oszacować temperaturę krytyczną przejścia substancji w stan nadprzewodnictwa w przypadku silnego sprzężenia elektron-fonon. Wzór ten ma postać

${\displaystyle T_{c}\approx T_{D}\exp \left(-{\frac {1+\lambda }{\lambda -\mu _{C}}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle T_{D}}$ – temperatura Debye’a,

${\displaystyle \lambda }$ – parametr charakteryzujący sprzężenie elektron-fonon,

${\displaystyle \mu _{C}}$ – parametr charakteryzujący kulombowskie odpychanie elektronów w parach Coopera.

Dla typowych materiałów wartość ${\displaystyle \mu _{C}}$ wynosi ok. 0,13. Wzór pozostaje słuszny dla wartości ${\displaystyle \lambda }$ rzędu 1. Dla bardzo silnych sprzężeń ${\displaystyle (\lambda >3)}$ może dawać tylko bardzo przybliżone wyniki^[1].

W poniższej tabeli zestawione są wartości temperatury krytycznej ${\displaystyle T_{c},}$ temperatury Debeye’a ${\displaystyle T_{D}}$ oraz sprzężenia elektron-fonon ${\displaystyle \lambda }$ dla niektórych pierwiastków wykazujących nadprzewodnictwo^[2].

Pierwiastek	${\displaystyle T_{c}}$ [K]	${\displaystyle T_{D}}$ [K]	${\displaystyle \lambda }$
Al	1,16	428	0,38
Zn	0,85	309	0,38
Sn	3,72	200	0,60
V	5,30	399	0,60
Pb	7,19	105	1,12
Hg	4,16	72	1,00
Nb	9,22	277	0,82

Dla małych wartości parametru ${\displaystyle \lambda }$ (ok. 0,3) ma zastosowanie teoria BCS, z której wynika prosta zależność temperatury krytycznej od ${\displaystyle \lambda }$ w postaci^[1]:

${\displaystyle T_{c}=T_{D}\exp \left(-{\frac {1}{\lambda }}\right).}$

Wielkość ${\displaystyle \mu _{C}}$ różni się od klasycznego odpychania μ uwzględnieniem logarytmicznej redukcji oddziaływania kulombowskiego zachodzącego między parami elektronów w obecności innych elektronów. Ekranowanie zachodzi, ponieważ oddziaływanie kulombowskie rozchodzi się szybciej, niż oddziaływanie za pośrednictwem fononu:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{C}}}={\frac {1}{\mu }}+\ln \left({\frac {\omega _{el}}{\omega _{f}}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega _{el}}$ – częstość Fermiego,

${\displaystyle \omega _{f}}$ – częstość odcięcia dla fononów,

${\displaystyle \omega _{el}/\omega _{f}}$ – miara prędkości rozchodzenia się oddziaływań^[2].

Wzór McMillana pozwolił porównać efektywność oddziaływania prowadzącego do powstania par elektronów w różnych materiałach nadprzewodzących. Dodatkowo wykazano silny wpływ struktury krystalicznej na oddziaływanie elektron-fonon^[2].