Desigualdade de Weitzenböck
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Junho de 2014) |
Em matemática, mais exatamente em geometria, a desigualdade de Weitzenböck, assim chamada após Roland Weitzenböck, afirma que para um triângulo de lados , , , e de área , segue a seguinte desigualdade
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/LabeledTriangle.svg/220px-LabeledTriangle.svg.png)
A igualdade ocorre se e somente se o triângulo é equilátero. A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck.
Provas
editarA prova desta desigualdade foi uma das questões da Olimpíada Internacional de Matemática de 1961. Mesmo assim, o resultado não é muito difícil de se obter usando a fórmula de Heron para a área do triângulo:
Primeiro método
editarEste método não assume qualquer conhecimento de desigualdades, exceto que todos os quadrados são não negativos.
e o resultado segue imediatamente tomando-se a raiz quadrada positiva de ambos os lados. Desde a primeira desigualdade pode-se ver que a igualdade ocorre apenas para e se o triângulo é equilátero.
Segundo método
editarPara este método é necessário conhecer previamente a chamada desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias.
Como foi usada a desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias, a igualdade só ocorre se e se o triângulo é equilátero.
Terceiro método
editarPode ser demostrado que é uma área de um triângulo de Napoleão, sendo:
logo, igual ou maior que 0.
Ver também
editarLigações externas
editar- Weisstein, Eric W. «Weitzenböck's Inequality» (em inglês). MathWorld
- "Weitzenböck's Inequality," uma demonstração interativa por Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.