Axioma lui Arhimede
A nu se confunda cu principiul lui Arhimede din hidrostatică!
Axioma lui Arhimede reprezintă o proprietate specifică anumitor grupuri și corpuri din teoria structurilor algebrice.
Alte denumiri:
- Lema (proprietatea) lui Arhimede
- Axioma continuității
- Axioma (teorema) lui Eudoxus.
Istoric
modificareAtribuit lui Arhimede (sec. III î.Hr.), axioma se regăsește în scrierile lui Eudoxus (secolul al IV-lea î.Hr. - Boyer & Merzbach, 1991), iar termenul este introdus de matematicianul austriac Otto Stolz în 1883.
Enunț
modificareTeoremă (principiul sau axioma lui Arhimede).Pentru orice numere reale cu
există
cu
Pentru a demonstra proprietatea lui Arhimede, se utilizează următoarea teoremă:
Teoremă.Pentru orice număr real x există un număr natural m astfel încât să avem:
Demonstrație.Fie fixat.Presupunem că
pentru orice
În consecință, mulțimea
este mărginită deci ar admite o margine superioară
Din definiția marginii superioare, rezultă că există
cu
de unde avem că
absurd deoarece
este inductivă (aceasta provine chiar din axiomele mulțimii
) și ca atare
Așadar există un
cu
Fie mulțimea:
Mulțimea A este mărginită inferior deci există cu
Din definiția infimumului există pentru un
un
cu
Fie
arbitrar.Evident nu putem avea
Așadar avem fie
fie
În prima situație ar rezulta că
absurd.Așadar pentru orice
avem
ceea ce înseamnă că
întrucât
rezultă că
iar dacă am avea
ar rezulta că
deci
nu ar mai fi
absurd.Așadar avem și relația
Acum pentru demonstrarea proprietății lui Arhimede, se vor considera cazurile:
, atunci se ia
Având în vedere că
putem aplica teorema precedentă.
Deci există cu
de unde rezultă axioma lui Arhimede.
Legături externe
modificare- WolframAlpha.com Arhivat în , la Wayback Machine.