Forță centrală

Se definește forța centrală în raport cu un punct  ${\displaystyle O}$   ca fiind un vector invariant la grupul mișcărilor plane ce lasă fix punctul  ${\displaystyle O.}$  Deci dreapta suport a forței trece prin  ${\displaystyle O}$   iar modului acesteia depinde doar de distanța de la punctul ei de aplicație la punctul  ${\displaystyle O.}$  

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=F(r){\frac {\mathbf {x} }{r}},\;\;\mathbf {x} ={\overrightarrow {OP}},\;\;r=|\mathbf {x} |,}$

${\displaystyle (1.1)}$

unde  ${\displaystyle P}$   este punctul material considerat.

Dacă  ${\displaystyle F(r)<0}$   forța centrală se numește atractivă, iar dacă  ${\displaystyle F(r)>0}$   forța centrală se numește repulsivă.

Din formula (1.1) rezultă că  ${\displaystyle rot\;\mathbf {F} =0,}$   deci forțele centrale sunt forțe conservative.

Dacă  ${\displaystyle (r,\theta )}$   sunt coordonatele polare ale punctului  ${\displaystyle P}$   atunci vectorul viteză poate fi scris:

${\displaystyle {\vec {v}}=({\dot {r}},r{\dot {\theta }})\;}$   (în raport cu reperul  ${\displaystyle ({\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{\theta })}$ )

${\displaystyle (1.1.1)}$

Fie  ${\displaystyle {\vec {\rho }}={\frac {\vec {r}}{r}}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}}$   versorul vectorului de poziție  ${\displaystyle {\vec {r}}.}$  Atunci:

${\displaystyle {\vec {F}}=F{\vec {\rho }}=F{\frac {\vec {r}}{r}}.}$

${\displaystyle (1.1.2)}$

În cazul forței elastice  ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-k\mathbf {x} ,}$   unde  ${\displaystyle k=const.>0}$   se numește modul de elasticitate.Acest rezultat se bazează pe experimente (legea lui Hooke).

Potențialul forței elastice are forma:

${\displaystyle \Pi (x)=-{\frac {k}{2}}\sum _{i=1}^{3}x_{i}^{2}+{\mathcal {C}}}$

${\displaystyle (2.1.1)}$

unde  ${\displaystyle x_{i},\;i={\overline {1,3}}}$   sunt componentele carteziene ale vectorului  ${\displaystyle \mathbf {x} .}$

Forța pe care un corp de masă  ${\displaystyle M}$   o exercită asupra unui corp de masă  ${\displaystyle m}$   este dată de legea lui Newton:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-K{\frac {Mm}{r^{2}}}\cdot {\frac {\mathbf {x} }{r}},}$

${\displaystyle (2.2.1)}$

unde  ${\displaystyle K}$   este constanta atracției universale, care este determinată experimental și are valoarea:

${\displaystyle K=6,673\times 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\times s^{2}}}.}$

${\displaystyle (2.2.2)}$

Potențialul forței de atracție universale are forma:

${\displaystyle \Pi (\mathbf {x} )=K{\frac {Mm}{r}}+{\mathcal {C}}.}$

${\displaystyle (2.2.3)}$

Din teorema momentului cinetic  ${\displaystyle \left({\frac {d{\vec {K}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}_{0}({\vec {F}})={\vec {r}}\times {\vec {F}}=0\right)}$   rezultă  ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {r}}\times m{\vec {v}}=0.}$  

Se obține integrala primă a ariilor:

	${\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {v}}={\vec {c}}={\vec {r}}_{0}\times {\vec {v}}_{0}}$	${\displaystyle (3.1)}$
	${\displaystyle {\vec {r}}(t_{0})={\vec {r}}_{0},\;{\vec {v}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}.}$

Viteza areolară a punctului  ${\displaystyle P}$   este:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {A}}}{dt}}={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}})={\frac {\vec {c}}{2}},\;\forall t\geq t_{0},}$

${\displaystyle (3.2)}$

deci viteza areolară este constantă.

Prin urmare, mișcarea punctului  ${\displaystyle P}$   sub acțiunea forței centrale  ${\displaystyle {\vec {F}}}$   are loc astfel încât momentul cinetic și viteza areolară sunt constante vectoriale,  ${\displaystyle \forall t\geq t_{0}.}$