Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
A nu se confunda cu formula lui Viète pentru numărul π !
În matematică , formulele lui Viète sunt relațiile dintre coeficienții unei ecuații algebrice și rădăcinile acesteia.
Dacă
P ( X ) = a n X n + a n − 1 X n − 1 + ⋯ + a 1 X + a 0 {\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}} este un polinom de gradul n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} cu coeficienți numere complexe (deci a 0 , a 1 , … , a n − 1 , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}} sunt numere complexe cu a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} ), iar x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} sunt rădăcinile sale, atunci
S 1 = x 1 + x 2 + … + x n = − a n − 1 a n {\displaystyle S_{1}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\!} S 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n − 1 x n = a n − 2 a n {\displaystyle S_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\!} S 3 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + … + x n − 2 x n − 1 x n = − a n − 3 a n {\displaystyle S_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\frac {a_{n-3}}{a_{n}}}\!} .............................................. S k = x 1 x 2 … x k + … = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle S_{k}=x_{1}x_{2}\ldots x_{k}+\ldots =(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}\!} .......................................... S n = x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n . {\displaystyle S_{n}=x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.\!} Aceste relații au fost stabilite de François Viète în 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți .
Aceste formule permit calcularea unor expresii algebrice care implică rădăcinile fără a le calcula efectiv. De exemplu se poate calcula suma inverselor rădăcinilor unei ecuații de gradul II, III fără a le explicita:
∑ x i − 1 = 1 x 1 + 1 x 2 ( + . . ) {\displaystyle \sum x_{i}^{-1}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}(+..)} care prin aducere la un numitor comun dau
∑ x i − 1 = x 1 + x 2 x 1 x 2 {\displaystyle \sum x_{i}^{-1}={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}} care se pot înlocui direct din formulele lui Viète.
Relațiile nu trebuie confundate cu produsul infinit al lui Viète din trigonometrie :
cos ( θ 2 ) ⋅ cos ( θ 4 ) ⋅ cos ( θ 8 ) ⋯ = ∏ n = 1 ∞ cos ( θ 2 n ) = sin ( θ ) θ . {\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }.}